如何在2维或更多维的FFTW中进行归一化？
我正在尝试弄清楚如何使用FFTW正确归一化DFT的结果。 FFTW tutorial指出，大小为n的1d复数数组X的正向（FFTW_FORWARD）离散傅里叶变换将计算数组Y，其中
Y_k = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {n-1} X_j e ^ {-2 \ pi j k \ sqrt {-1} / n}
后向DFT计算：
Y_k = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {n-1} X_j e ^ {+ 2 \ pi j k \ sqrt {-1} / n}
这些定义与实数到复杂的转换相同。
此外，本教程指定“ FFTW计算未归一化的变换，因为DFT中求和的前面没有系数。换句话说，应用正向变换然后向后变换会将输入乘以n。 ” 但是，它没有指定在何处进行此重新缩放。我想这可能取决于应用程序，但不确定如何正确使用它。 This answer指出应将其规范化为正向，但我对此表示怀疑，我将对此进行详细说明。
我的目标是弄清楚如何正确地标准化FFT结果，以便获得我所期望的结果。因此，我首先做了一个简单的1D变换，在那儿我确切地知道了什么：变换
1/2（δ（1 + x）-δ（1-x））
以δ为狄拉克三角洲函数，我希望得到：
integral _（-∞）^∞（1/2（δ（1 + x）-δ（1-x）））e ^（-2πiωx）dx = i sin（2πω）
当我对i sin（2πω）进行IFFT时也是如此，只是现在我需要除以n来归一化。
这是我用来演示此行为的代码：
program use_fftw
use,intrinsic :: iso_c_binding
implicit none
include 'fftw3.f03'
integer, parameter :: N = 1000
integer, parameter :: dp = kind(1.d0)
real(dp), parameter :: pi = 3.1415926d0
real(dp), parameter :: physical_length = 500
real(dp), parameter :: dx = physical_length/real(N)
real(dp), parameter :: dk = 1.d0 / physical_length
integer :: i, ind1, ind2
! for double precision: use double complex & call dfftw_plan_dft_1d
complex(C_DOUBLE_COMPLEX), allocatable, dimension(:) :: arr_out
real(C_DOUBLE), allocatable, dimension(:) :: arr_in
type(C_PTR) :: plan_forward, plan_backward
allocate(arr_in(1:N))
allocate(arr_out(1:N/2+1))
plan_forward = fftw_plan_dft_r2c_1d(N, arr_in, arr_out, FFTW_ESTIMATE)
plan_backward = fftw_plan_dft_c2r_1d(N, arr_out, arr_in, FFTW_ESTIMATE)
!----------------------
! Setup
!----------------------
! add +1: index = 1 corresponds to x=0
ind1 = int(1.d0/dx)+1 ! index where x=1
ind2 = int((physical_length-1.d0)/dx)+1 ! index where x=-1
arr_in = 0
arr_in(ind1) = -0.5d0
arr_in(ind2) = 0.5d0
!----------------------
! Forward
!----------------------
call fftw_execute_dft_r2c(plan_forward, arr_in, arr_out)
write(*,*) "Verification: Max real part of arr_out:", maxval(real(arr_out))
open(unit=666,file='./fftw_output_norm1d_fft.txt', form='formatted')
do i = 1, N/2+1
write(666, '(2E14.5,x)') (i-1)*dk, aimag(arr_out(i))
enddo
close(666)
write(*,*) "Finished! Written results to fftw_output_norm1d_fft.txt"
!----------------------
! Backward
!----------------------
call fftw_execute_dft_c2r(plan_backward, arr_out, arr_in)
arr_in = arr_in/N
open(unit=666,file='./fftw_output_norm1d_real.txt', form='formatted')
do i = 1, N
write(666, '(2E14.5,x)') (i-1)*dx, arr_in(i)
enddo
close(666)
write(*,*) "Finished! Written results to fftw_output_norm1d_real.txt"
deallocate(arr_in, arr_out)
call fftw_destroy_plan(plan_forward)
call fftw_destroy_plan(plan_backward)
end program use_fftw
结果完全符合我的期望：
因此，在这种情况下，我仅在从傅立叶空间回到真实空间并进行归一化时才归一化（除以n）。
但是I ran into problems是我尝试对多个维度进行相同的操作。 这次，我正在尝试转型
sqrt（π/ 2）（（δ（-1 + x）-δ（1 + x））δ（y）+δ（x）（δ（-1 + y）-δ（1 + y） ））
应该给出
integral _（-∞）^∞（sqrt（π/ 2）（（δ（-1 + x）-δ（1 + x））δ（y）+δ（x）（δ（-1 + y ）-δ（1 + y））））e ^（-2πi {x，y} {a，b}）d {x，y} = + i sin（a）+ i sin（b）
我绘制了x = 0的结果（分别为k_x = 0）：
在窦波的频率和振幅上，这似乎是完全错误的。
但是，通过除以n ^ 2进行反变换和归一化，可以在x和y方向上给出预期的初始条件。这是x = 0的图：
我不知道我在做什么错...
这是二维代码：
program use_fftw
use,intrinsic :: iso_c_binding
implicit none
include 'fftw3.f03'
integer, parameter :: N = 1000
integer, parameter :: dp = kind(1.d0)
real(dp), parameter :: pi = 3.1415926d0
real(dp), parameter :: physical_length = 500
real(dp), parameter :: dx = physical_length/real(N)
real(dp), parameter :: dk = 1.d0 / physical_length
integer :: i, ind1, ind2
! for double precision: use double complex & call dfftw_plan_dft_1d
complex(C_DOUBLE_COMPLEX), allocatable, dimension(:,:) :: arr_out
real(C_DOUBLE), allocatable, dimension(:,:) :: arr_in
type(C_PTR) :: plan_forward, plan_backward
allocate(arr_in(1:N, 1:N))
allocate(arr_out(1:N/2+1, 1:N))
plan_forward = fftw_plan_dft_r2c_2d(N, N, arr_in, arr_out, FFTW_ESTIMATE)
plan_backward = fftw_plan_dft_c2r_2d(N, N, arr_out, arr_in, FFTW_ESTIMATE)
!----------------------
! Setup
!----------------------
! add +1: index = 1 corresponds to x=0
ind1 = int(1.d0/dx)+1 ! get index where x = 1
ind2 = int((physical_length-1.d0)/dx)+1 ! get index where x = -1
arr_in = 0
! y=0:
arr_in(ind1, 1) = sqrt(pi/2)
arr_in(ind2, 1) = -sqrt(pi/2)
! x=0:
arr_in(1, ind1) = sqrt(pi/2)
arr_in(1, ind2) = -sqrt(pi/2)
!----------------------
! Forward
!----------------------
call fftw_execute_dft_r2c(plan_forward, arr_in, arr_out)
write(*,*) "Verification: Max real part of arr_out:", maxval(real(arr_out))
open(unit=666,file='./fftw_output_norm2d_fft_x=0.txt', form='formatted')
open(unit=667,file='./fftw_output_norm2d_fft_y=0.txt', form='formatted')
do i = 1, N
write(666, '(2E14.5,x)') (i-1)*dk, aimag(arr_out(1,i))
enddo
do i = 1, N/2+1
write(667, '(2E14.5,x)') (i-1)*dk, aimag(arr_out(i,1))
enddo
close(666)
close(667)
write(*,*) "Finished! Written results to fftw_output_normalisation_fft_x.txt and fftw_output_normalisation_fft_y.txt"
!----------------------
! Backward
!----------------------
call fftw_execute_dft_c2r(plan_backward, arr_out, arr_in)
! Normalisation happens here!
arr_in = arr_in/N**2
open(unit=666,file='./fftw_output_norm2d_real_x=0.txt', form='formatted')
open(unit=667,file='./fftw_output_norm2d_real_y=0.txt', form='formatted')
do i = 1, N
write(666, '(2E14.5,x)') (i-1)*dx, arr_in(1, i)
write(667, '(2E14.5,x)') (i-1)*dx, arr_in(i, 1)
enddo
close(666)
close(667)
write(*,*) "Finished! Written results to fftw_output_norm2d_real_x=0.txt and fftw_output_norm2d_real_y=0.txt"
deallocate(arr_in, arr_out)
call fftw_destroy_plan(plan_forward)
call fftw_destroy_plan( plan_backward)
end program use_fftw
和python绘图工具：
#!/usr/bin/python3
#====================================
# Plots the results of the FFTW
# example programs.
#====================================
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sys import argv
from time import sleep
errormessage="""
I require an argument: Which output file to plot.
Usage: ./plot_fftw.py <case>
options for case:
1 fftw_output_norm1d_fft.txt
2 fftw_output_norm1d_real.txt
3 fftw_output_norm2d_fft_x=0.txt
4 fftw_output_norm2d_real_x=0.txt
5 fftw_output_norm2d_fft_y=0.txt
6 fftw_output_norm2d_real_y=0.txt
Please select a case: """
#----------------------
# Hardcoded stuff
#----------------------
file_dict={}
file_dict['1'] = ('fftw_output_norm1d_fft.txt', '1d Fourier transform')
file_dict['2'] = ('fftw_output_norm1d_real.txt', '1d Full circle')
file_dict['3'] = ('fftw_output_norm2d_fft_x=0.txt', '2d Fourier transform, x=0')
file_dict['4'] = ('fftw_output_norm2d_real_x=0.txt', '2d Full circle, x=0')
file_dict['5'] = ('fftw_output_norm2d_fft_y=0.txt', '2d Fourier transform, y=0')
file_dict['6'] = ('fftw_output_norm2d_real_y=0.txt', '2d Full circle, y=0')
#------------------------
# Get case from cmdline
#------------------------
case = ''
def enforce_integer():
global case
while True:
case = input(errormessage)
try:
int(case)
break
except ValueError:
print("\n\n!!! Error: Case must be an integer !!!\n\n")
sleep(2)
if len(argv) != 2:
enforce_integer()
else:
try:
int(argv[1])
case = argv[1]
except ValueError:
enforce_integer()
filename,title=file_dict[case]
#-------------------------------
# Read and plot data
#-------------------------------
k, Pk = np.loadtxt(filename, dtype=float, unpack=True)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
# ax.plot(k, Pk, label='power spectrum')
if case in ['1', '3', '5']:
ax.plot(k, Pk, label='recovered wave', lw=3) # ignore negative k
x = np.linspace(k.min(), k.max(), 1000)
if case=='1':
ax.plot(x, np.sin(2*np.pi*x), ':', label='expected wave', lw=3)
if case in ['3', '5']:
ax.plot(x, np.sin(x), ':', label='expected wave', lw=3)
ax.set_title(title)
ax.set_xlabel("k")
ax.set_ylabel("F(k)")
if case in ['2', '4', '6']:
# in this case: k=x, Pk=f(x)
ax.plot(k, Pk, label='recovered original', lw=3) # ignore negative k
N=1000
plen=500
dx=plen/N
x = np.linspace(k.min(), k.max(), 1000)
y = np.zeros(1000)
ind = int(1.0/dx)
if case=='2':
y[ind] = -0.5
y[-ind] = 0.5
if case in ['4', '6']:
y[ind] = np.sqrt(np.pi/2)
y[-ind] = -np.sqrt(np.pi/2)
ax.plot(x, y, ':', label='expected original', lw=3)
ax.set_title(title)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("f(x)")
ax.legend()
plt.show()
0 个答案:
没有答案
相关问题
最新问题
- 我写了这段代码，但我无法理解我的错误
- 我无法从一个代码实例的列表中删除 None 值，但我可以在另一个实例中。为什么它适用于一个细分市场而不适用于另一个细分市场？
- 是否有可能使 loadstring 不可能等于打印？卢阿
- java中的random.expovariate()
- Appscript 通过会议在 Google 日历中发送电子邮件和创建活动
- 为什么我的 Onclick 箭头功能在 React 中不起作用？
- 在此代码中是否有使用“this”的替代方法？
- 在 SQL Server 和 PostgreSQL 上查询，我如何从第一个表获得第二个表的可视化
- 每千个数字得到
- 更新了城市边界 KML 文件的来源？