Question

在这个问题中，我想找到所有公对数除数的总和。对形成如下：

给定数量N = 3
然后这对数字和公约数如下：

（1,1）= 1，（1,2）= 1，（1,3）= 1

（2,2）= 3，（2,3）= 1，

（3,3）= 4（该对的公约数为1和3，因此总和为4）

所以答案是所有常见除数的总和，即11。

我在这里观察到某种类似的系列

for 1 : 1 1 1 1 ....
for 2 : 3 1 3 1 ....
for 3:  4 1 1 4 ....
for 4 : 7 1 3 1 7 .....
for 5 : 6 1 1 1 1 6 ....
for 6 : 12 1 3 4 3 1 12 ....

所以

使用上述模式可以解决这个问题吗？如果是，请通过为此写一个伪代码来帮助我。

Answer 1

在这个答案中，我假设您感兴趣的是单个参数N的简单函数。我认为它可以在O(N)中计算（假设您不进入长算术区域）。实际上，您可以在OEIS A143127处找到指定为

的序列

k = d，...，n的k * d（k）之和，其中d（k）是k的除数。

然而，可能不是那么明显，为什么这个序列是正确的答案。要了解原因，请查看区别F(N) - F(N-1)。下一个N会在范围(i, N)中为i添加[1, N]对。对于p的每个除数N，将有N/p对将p加到总和中。换句话说，每个除数恰好将N加到总和中。因此，如果d(N)是除数的数量，那么对于所有对N * d(N)，我们得到(i, N)。

如果我们追求总和的顺序，我们可以得到更直接的公式。考虑一些固定的N和m < N。 m将被添加多少次作为某对的公约数？好吧，它将被添加到所有对，其中两个数字除以m。在floor(N/m)之前，有m个数字除以N。由于我们只计算唯一对，因此每个floor(N/m) * (floor(N/m) + 1) / 2对将m添加到总和中。我们为所有m添加了O(N) - 时间公式

a(n) = sum_{m=1..N} m * floor(N/m) * (floor(N/m)+1)/2

OEIS提供了一个更复杂的公式，似乎有O(sqrt(N))运行时间

a(n) = sum_{m=1..floor(sqrt(n))} m*(m+floor(n/m))*(floor(n/m)+1-m) - A000330(floor(sqrt(n)))

，其中

A000330(n) = n*(n+1)*(2*n+1)/6.

但我不确定他们是如何得到它的。仍然在我的测试中，这个公式为前30个值产生了正确的结果。

公约的公约数的和

1 个答案: