在这种情况下如何计算H的* VC维*？

Question

• 设H表示Rn中的轴平行矩形的集合。每 rectangle定义了一个二进制分类器，用于为点分配标签+1 在矩形内部，并将-1标记为矩形外的点。 每个矩形由每个维度1中的间隔[ai，bi]定义 ≤i≤n。如果ai≤xi≤bi，则pointx =（x1，...，xn）∈Rn在矩形中 for1≤i≤n。 H的VC维度是多少？证明你的答案。

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根据我的理解，VC维度是一个最大的整数d，这样就存在一个大小为d的样本可以被假设集H破坏，但在这种情况下，如果H是矩形，我们怎么能计算出来呢？

Answer 1

对于Rn中的轴对齐矩形，VC维度（至少）为2 * n。

首先考虑R1中的一个矩形，它只是沿x1轴（实际上不是矩形）的一对最小/最大值（a1，b1）。这对值的VC维度为2，因为对于R1中的任何两个点，您可以设置（a1，b1）使得两个点中的一个，两个或两个都不在它们之间。但是当你沿着那个轴添加第三个点时，你无法在范围（a1，b1）中包含两个外部点而不包括中间点。

为了更容易想象，假设两点分别位于x1 = -2和x1 = 2。您可以通过将矩形边界（a1，b1）定义为

来破碎集合

(-3, 3) -> both points included
(-3, 1) -> first point only
(-1, 3) -> second point only
(-1, 1) -> neither point included

现在假设您添加了一个额外的维度，因此您的空间位于R2中（即，现在它是一个真正的矩形区域）。再添加两个点，让新点的x1坐标为0，这样它们将始终包含在第一维（对于上面定义的矩形）中，并将新点的x2坐标分别设置为-2和2。另外，将前两个点的x2坐标设置为0。

当您将（a1，b1，a2，b2）设置为（-3,3，-3,3）时，您将包含所有4个点。你可以通过简单地将4个边界之一的大小从3减少到1来排除任何点。因为你可以通过改变R2矩形的相应边界来包括4个点的任何子集，VC的维度R2矩形至少为4.

很明显，您可以针对任意数量的维度重复此过程。每次添加新尺寸xi时，将所有点的xi坐标设置为0，除了为该尺寸添加的两个新点（它们分别位于xi = -2和xi = 2）。 / p>

由于您可以为每个维度粉碎2个额外的点，因此对于Rn中的轴对齐矩形，VC维度将至少为2 * n。