极小程度有向无环图中的最短路径

Question

给定n个顶点上的加权有向非循环图，使得每个顶点最多只有5，最多只有5。节点0, 1, ..., n - 1的方向如下

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

...

n-5 n-4 n-3 n-2 n-1

边缘只能从一行中的节点到下一行中的某个节点。

我们会收到q次查询，询问从u到v的最短路径长度。此处n最高为10^5，q最高为10^4。权重都是正整数。

我们能做得比O(nq)动态编程更好（这显然在这里不起作用）？

Answer 1

这似乎太好了，不好意思，如果不是......你可以得到O(n)（ EDIT ：O(n^(4/3))）预处理和O（ 1）查询。

我认为您知道如何及时计算图表中所有节点之间的所有最短距离O(n^2)。 （这确实是可能的，你似乎知道这一点）

在k块中划分图表，每个块包含n/(5*k)行。 （这些块应该在完整的行上开始和结束，并且两个连续的行在它们各自的第一行和最后一行上重叠）

计算每个块中所有节点（尤其是第一行和最后一行）之间的最短路径：O((n/k)^2)。

然后你可以考虑仅包含两个块之间边界处的节点的简化图，其边值等于它们之间刚刚计算出的最短路径。这个简化图的大小为{{1} }。 及时计算该图表中的所有最短路径{.1}。

总预处理时间：O(k)。拿O(k^2)，您可以进行O((n/k)^2 + k^2)预处理。

然后查询时间为k=sqrt(n)：取v块末尾的5个节点，v块开头的5个节点（如果块不同），你只需要比较u-> v

的25种可能性

修改

当然这是假的。实际上，您有k个块可用于计算最短路径，因此该步骤的总复杂度为O(n)。所以总数为O(1)，而k的最佳选择是O(k*(n/k)^2)，这给出了O(n^2/k + k^2)和总查询k=n^(2/3)的预处理的总复杂性