如何在欠定线性方程组中找到“部分”解？

Question

假设我有这个矩阵：

1 1 1 | 1
 0 0 1 | 1

这个系统显然有无限的解决方案。

x1 = -x2
 x3 = 1

x1依赖于x2而x2是免费的，但我感兴趣的是x3。 有没有一种算法可以找到一个看起来像这样的解决方案：[NaN，NaN，1]用于x1，x2和x3？

我的猜测是你可以使用高斯消除算法的变体，但我不确定该怎么做。

Answer 1

我假设系统至少有一个解决方案（您可以使用标准高斯消除检查它）。

引理：变量的值是固定的，当且仅当它是缩减行梯形形式中行中唯一的变量时。

证明： 如果它是行中唯一的变量，则对于均匀系统的任何解决方案，它必须为零。因此，它是原始系统的常量。

如果它不是行中唯一的变量，则其值不固定。实际上，行中的另一个变量是免费的，因此我们可以任意选择它的值。这个自由变量的两个不同选择给出了两个不同的枢轴变量值。

所以最终的解决方案如下：

1. 使用高斯消元法得到矩阵的缩减行梯形。

2. 检查是否至少有一个解决方案。如果没有退货的话。

3. 如果变量是行中唯一的变量，则返回包含变量值的向量，否则返回1 1 0 0 0 0 1 1 。

在您的情况下，减少的梯队形式是：

[Nan, Nan, 3]

最后一个变量具有唯一值1.第二个变量是空闲的。第一个变量不是其行中唯一的变量。因此，结果是{{1}}。