Question

我有一个欠定线性方程组Ax = b（即比方程更多的未知数），我想在matlab中解决这个问题。

我知道这通常意味着无数的解决方案，但我也知道解决方案应该是正整数且小于一定数。我能找到满足这些额外要求的所有解决方案吗？

这个问题来自于一个未知的矩阵，我知道每一行和每列的总和。

e.g。未知矩阵找

0 3 2 0
0 2 4 1
2 1 0 0

已知行总和

5
7
3

列总和知道

2 6 6 1

我尝试过lsqnonneg（A，b）函数，它只提供一个有效的解决方案

0 0 5 0
0 6 0 1
2 0 1 0

Answer 1

'fmincon'优化方法可能能够帮助您 - 它允许在运行之前添加非线性不等式约束：http://uk.mathworks.com/help/optim/ug/nonlinear-inequality-constraints.html

编辑：刚发现使用行总和来帮助确定优化的答案，所以我给出的答案可能用途有限。仍然值得一试。

Answer 2

你所拥有的通常被称为integer-linear programming，并且已知它是NP难的（这意味着在解决方案出来之前不要屏住呼吸）。

如果你想在没有整数的情况下解决它，你有一个线性程序，因此可以使用linprog。如果您将未知矩阵视为未知条目的向量，则列总和仅为

col_sum = kron(eye(4),[1,1,1]);

col_sum =

     1     1     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     1     1     1     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     1     1     1     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     1     1

同样，行和是

row_sum = repmat(eye(3),1,4);

row_sum =

     1     0     0     1     0     0     1     0     0     1     0     0
     0     1     0     0     1     0     0     1     0     0     1     0
     0     0     1     0     0     1     0     0     1     0     0     1

这些是你的等式约束，你也有不等式约束，但只能绑定未知值。 linprog可以将它们绑定为额外的参数。但是你没有一个目标函数，你可以用它来组合所有未知数的总和，或者其中一个或任何其他线性目标可以做的事情，或者你可以把它留空，你得到任何可行的结果。

Aeq = [col_sum;row_sum]
beq = [2 6 6 1 5 7 3]';

X = linprog([],[],[],Aeq,beq,zeros(12,1),10*ones(12,1))% 0 <= vars <= 10

X = reshape(X,3,4)

X =

    0.6550    2.0160    2.0160    0.3130
    1.1192    2.5982    2.5982    0.6845
    0.2258    1.3859    1.3859    0.0025


>> sum(X,1)

ans =

    2.0000    6.0000    6.0000    1.0000

>> sum(X,2)

ans =

    5.0000
    7.0000
    3.0000

如果您确保某些条目保持为零等，那么所有解决方案都可能被强制为整数。否则，您需要具有非凸特定的整数编程解算器，例如given here

在matlab中求解欠定方程组

2 个答案: