具有彩色边缘的图表中具有最小更改次数的路径

Question

我有一个带有彩色边缘（红色和蓝色）的有向图，可能包含周期。问题是编写一个给定两个顶点（s，t）的算法，找到s和t之间颜色变化最小的路径（如果存在这样的路径）。

我找到了一个使用Dijkstra变体的解决方案（我创建了一个新图形，其中每个顶点对应于上一个图形的边缘，并包含边缘的颜色。例如：if（1,2）是一个在旧图中的边缘，然后（1/2）是新图中的顶点。我连接“相邻边”顶点，并且新图中改变颜色的边的权重为1，其中相同的颜色过渡为0）

我正在寻找线性时间（V和E）的解决方案。上面的一个使用新图中的VxE边。

有没有找到最小路径的解决方案？

Answer 1

第一阶段：减少到最短路径问题。

1. 对于每个节点i，我们创建了两个节点i_red和i_blue。
2. 对于每个蓝色边i->j，我们创建两个边i_red->j_blue，其中权重为1，i_blue->j_blue为权重0。
3. 我们以类似的方式处理红色边缘。
4. 我们还需要一个与start_red和start_blue相关联的起始节点，其连接权重为0。
5. 与目标节点类似，目标节点与target_red和target_blue连接，重量为0 - 连接。

现在，搜索从新创建的起始节点到新创建的目标节点的最短路径。节点的数量是原始图形的两倍，边数是原始图形的两倍，因此减少是线性的。

将问题缩减为最短路径搜索后，您可以执行以下操作：

1. 步骤：仅使用权重为0的边，将图表视为无向图，并且在bfs的帮助下，您可以在线性时间内找到此0边图中的所有组件。

2. 步骤：在图表上运行bfs，其中前一步骤中的组件粘合在一起作为超级节点，因此所有边缘都具有权重1，bfs将找到最短路径。

显然，该算法的所有三个部分（0-edge-graph中的bfs，将组件粘合到超级节点以及生成的图中的bfs）都以线性时间运行。