我想知道一种强大的方法来检查矩阵是否使用计算机是单数的。我知道使用行列式（要求它不为零）可能会产生误导，因为它无法区分矩阵确实是奇异的情况，并且由于数值误差，你会得到一个非常小的值（例如~10 ^ -12）和像10 ^ -12 * I这样的情况再次给出一个非常小的行列式，而矩阵绝对不是奇异的（它是正交的）。
有一个很好的联系（How to find out if a matrix is singular?）争论可以使用矩阵的条件，或者换句话说，最大奇异值与最小奇异值之比。
然而这又不是问题吗？ 2x2矩阵[10 ^ 8 0; 0 10 ^ -8]是正交的，因此绝对不是单数，但其奇异值是10 ^ 8和10 ^ -8（条件数10 ^ 16），因此根据上面的链接它将被归类为单数。
是一种在奇异值分解之前对行进行标准化的正确方法，然后简单地检查最小的奇异值是否小（例如小于10 ^ -7）？
非常感谢！
答案 0 :(得分：2)
矩阵的条件数测量线性系统 A x = b 对 b中的扰动的敏感程度即可。大的条件数意味着b中的{strong>相对扰动可以在解x中大大放大。
这里的术语相对扰动表示与原始矢量的大小相比，原始和扰动矢量的差异程度。具体来说，让b1表示相应扰动解的b和x1的扰动版本。 b（或x）中的相对扰动定义为norm(b-b1)/norm(b)（或norm(x-x1)/norm(x)）。
根据这个定义，条件数的重要性可以表达如下：大条件数意味着norm(x1-x)/norm(x) 可以远大于{ {1}}。 （有关此结果的证明，请参阅B. Noble和J.W. Daniels撰写的 Applied Linear Algebra （第3版），第271页;或数学堆栈交换中的this Q&A。
您的示例矩阵是
norm(b1-b)/norm(x)与
A = [10^8 0; 0 10^-8];
使用此矩阵考虑以下系统：
>> cond(A)
ans =
1.0000e+16
这会给出解决方案b = [1; 0]; % original b
x = A\b; % original solution
b1 = b + 0.01; % perturbed b
x1 = A\b1; % perturbed solution
（原始）和x = [1e-8; 0]（扰乱）。解决方案中的相对扰动是
x1 = [1.01e-08; 1e6]如您所见，它比>> norm(x-x1)/norm(x)
ans =
1.0000e+14
中引入的相对扰动大得多，
b请注意，对于>> norm(b-b1)/norm(b)
ans =
0.0141
的其他选择，相对扰动可能不会如此显着地放大。条件数表征了b的所有可能选择的最坏情况行为。
另一方面，请考虑b的行规范化版本：
A这只是单位矩阵：
B = A;
B(1,:) = B(1,:)/norm(B(1,:));
B(2,:) = B(2,:)/norm(B(2,:));
当然，它的条件也很好。所以现在>> B
B =
1 0
0 1
中的相对扰动与x中的相对扰动相比没有放大：
b给出
y = B\b;
y1 = B\b1;
与<{1}}中的相对扰动相同。
答案 1 :(得分：0)
条件数不决定矩阵是否是单数，它表明所获得的解是否是稳健的w.r.t.线性系统的RHS与否。非奇异矩阵可能具有非常糟糕的条件。
如果矩阵A中的任何列可以表示为其余列的线性组合，则它是单数。这相当于说A当且仅当它是满级时才是非奇异的。因此应该使用排名揭示因子分解。推荐的方法（至少这是我当时教过的！）这样做是Rank-revealing QR factorization。