我正在努力将sqrt函数（对于64位双精度）从fdlibm移植到我正在使用的模型检查器工具（cbmc）。
作为我的一部分，我阅读了很多关于ieee-754标准的内容，但我认为我不理解基本操作（包括sqrt）的精度保证。
测试我的fdlibm的sqrt端口，我在64位双倍上使用sqrt进行了以下计算：
sqrt(1977061516825203605555216616167125005658976571589721139027150498657494589171970335387417823661417383745964289845929120708819092392090053015474001800648403714048.0) = 44464159913633855548904943164666890000299422761159637702558734139742800916250624.0
（这个案例在我关于精度的测试中打破了一个简单的后置条件;我不确定是否可以使用IEEE-754来实现这种后置条件）
为了进行比较，一些多精度工具计算如下：
sqrt(1977061516825203605555216616167125005658976571589721139027150498657494589171970335387417823661417383745964289845929120708819092392090053015474001800648403714048.0) =44464159913633852501611468455197640079591886932526256694498106717014555047373210.truncated
可以看出，左起第17个数字是不同的，意味着如下错误：
3047293474709469249920707535828633381008060627422728245868877413.0
问题1：是否允许出现大量错误？
标准是说每个基本操作（+， - ，*，/，sqrt）应该在0.5 ulps之内，这意味着它应该等于数学上精确的结果四舍五入到最接近的fp表示（wiki说有些图书馆只能保证1 ulp，但目前这并不重要）。
问题2：这是否意味着每个基本操作都应该出现错误＆lt; 2.220446e-16 64位双打（机器epsilon）？
我确实用x86-32 linux系统（glibc / eglibc）计算了相同的结果，得到了与fdlibm相同的结果，让我想到：
printf会成为候选人，但我不知道是否可能是这个原因）答案 0 :(得分：14)
IEEE-754标准要求所谓的“基本操作”（包括加法，乘法，除法和平方根）正确舍入。这意味着有一个唯一的允许答案，它是所谓的“无限精确”操作结果的最接近的可表示浮点数。
在双精度中，数字具有53个精度的二进制数字，因此正确的答案是舍入到53位有效数字的确切答案。正如 Rick Regan 在他的回答中所示，这正是你得到的结果。
您的问题的答案是：
问题1：是否允许出现大量错误？
是的，但将此错误称为“巨大”是非常误导的。事实是，没有可以返回的双精度值会产生较小的误差。
问题2：这是否意味着每个基本操作都应该出现错误＆lt; 2.220446e-16 64位双打（机器epsilon）？
没有。这意味着根据当前的舍入模式，每个基本操作都应舍入到（唯一的）最接近可表示的浮点数。这与说机器epsilon限制相对误差并不完全相同。
问题3：您使用x86硬件和gcc + libc获得了哪些结果？
你做了同样的答案，因为sqrt在任何合理的平台上都是正确的。
答案 1 :(得分：8)
在二进制中，任意精度答案的前58位是1011111111111111111111110101010101111111111111111011010001 ...
double值的53位有效数是
10111111111111111111111101010101011111111111111110111
这意味着double值被正确舍入到53个有效位，并且在1/2 ULP内。 （错误是“大”只是因为数字本身很大）。