Question

我有四个线方程y = mx + b，有6个交点。

众所周知，这些线形成凸四边形。

如何找到四边形的四个交点（最好按顺序）？

Answer 1

求解每个线对的线性方程组

  y = m[i] * x + b[i]
  y = m[j] * x + b[j]

其中m [i]，b [i]是第i行的系数，并且是交叉的get（x，y）。

如果恰好有6个交点（没有平行线，没有退化），那么每一行都有三个交叉点。两个交叉点是＆＃34;外部＆＃34;而一个（中间）是＆＃34;内部＆＃34;，所以有三个内部和三个外部点。

似乎凸四边形总是包含所有三个内点，所以我们可以分离内点，得到相应的第四点。

例如，如果行被指定为A，B，C，D，并且交叉点AB，AC，CD在内部，则第四个点是交叉点BD（B和D在交叉点列表中是唯一的）

P.S。请注意，行方程式y=mx+b不适用于所有可能的行（不适用于垂直行），因此最好使用A*x + B*y + C = 0或其他NSSplitViewController。

Answer 2

First Concave QUAD：

第6个交叉点也应该在1)我忘了把它画在那里。

计算所有交叉点并将它们与行配对
```
l1: p2,p5,p6
l2: p1,p4,p6
l3: p1,p2,p3
l4: p3,p4,p5
```
l表示行，p表示交叉点
确定点是仅边缘还是中间

所以中间点是，如果你从它所属的线的每一侧得到另一个点。换句话说，如果将点转换为其参数位置（或距某个起点的距离），则中间点位于其他两个点距离之间。交叉点计算时直接获得的参数/距离，但如果不相交，则可以使用：
```
t(p) = dot(p-A,B-A)
```
其中A,B是行终点，p是查询的交叉点，t(p)是与A的标量“距离”。

因此，找出哪些点只是边e，哪些是中m：
```
l1: e2,e5,m6
l2: e1,e4,m6
l3: e1,m2,e3
l4: e3,m4,e5
```
现在如果任何一个点至少有一个中间然后它是部分中间，如果它只是边缘那么它是边缘而如果它只是中间那么它是中间的：
```
edge:    p1,p3,p5
partial: p2,p4
middle:  p6
```
构建多边形

所以我们必须使用边缘点。我们跳过的部分点（因为它们位于已使用的线上），最后我们也使用中间点。我们知道我们的多边形将是：
```
(p1,p3,p5) + (p6)
```
现在我们需要找到凹中点p6的位置。有3种组合：
```
e1,m6,e3,e5
e1,e3,m6,e5
e1,e3,e5,m6
```
我们知道m6属于l1,l2而l1,l2也有p2,p5,p1,p4仅来自边缘点：e1,e5所以m6将放在他们之间，所以正确的解决方案是：
```
e1,e3,e5,m6
```

现在凸出QUAD：

如果我们利用＃1，＃2 然后形成凸四边形，我们必须使用中间和部分中间点并选择一个纯边缘点。选择不属于具有纯中点的线的那个。所以我们必须使用：

    (p2,p4) + (m6) + one_from(e1,e3,e5)

m6不属于l3,l4所以我们需要找到属于e3的边缘，所以

    (p2,p4) + (m6) + (e3)

现在我们必须找出订单。中点和边缘点不会靠近自己，所以你有两个解决方案：

    p2,m6,p4,e3
    p2,e3,p4,m6

两者都是正确的它们只是相反（不同的多边形缠绕规则），因此您可以根据任意两个相邻顶点的叉积的z坐标选择所需的那个。