Question

以下函数的运行时间复杂度是O(1)吗？

int pow(int a, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return pow(a, n / 2) * pow(a, n / 2) * a;
    } else {
        return pow(a, n / 2) * pow(a, n / 2);
    }
}

我受到了这种印象，因为代码中只有if语句，没有循环。我之前从未使用过Big-O和递归，我在网上找不到任何好的资源。

Answer 1

您的函数的运行时为O（n），但可以很容易地修改它以在时间O（log n）中运行。

我们可以通过很多方式看到这一点。首先，我们可以计算正在进行的递归调用的总数，因为每个递归调用都会执行O（1）工作。想象一下，例如，我们将pow（a，8）称为某个数字a。然后

pow（a，8）两次调用pow（a，4）。
pow（a，4）两次调用pow（a，2）。
pow（a，2）两次调用pow（a，1）。
pow（a，1）两次调用pow（a，0）。

这意味着有

1打电话给pow（a，8），
2次致电pow（a，4），
4次致电pow（a，2），
8次调用pow（a，1）和
16次致电pow（a，0）。

总的来说，这是1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31总的来电。

现在，假设我们称之为pow（a，16）。这将触发对pow（a，8）的两次调用（总共62次递归调用），以及一次初始调用pow（a，16）以进行总共63次递归调用。如果我们调用pow（a，32），我们将两次调用pow（a，16）（总共126次递归调用），另外一次调用pow（a，32），总共127次递归调用。更一般地说，似乎我们称之为pow（a，n），我们会得到4n - 1次调用，这将是O（n）。

我们实际上可以正式证明这一点。设C（n）是对大小为n的输入进行的调用次数。注意

C（0）= 1。 C（n）= 2C（n / 2）+ 1

这种复发通过主定理解决了O（n）。

请注意，每个单独的递归调用都在做很少的工作。杀死我们的是这样一个事实：有很多完整的递归调用，这些调用会使这些调用累加起来。但是，虽然有很多总递归调用，但很少有唯一的递归调用。因此，请考虑代码的这种变化：

int pow(int a, int n) {
    if (n == 0) return 1;

    int halfPow = pow(a, n / 2);
    if (n % 2 == 0) return halfPow * halfPow;
    else return halfPow * halfPow * a;
}

此代码缓存正在进行的递归调用的值，因此它每次都会触发一次调用。结果，每次调用完成的工作仍然是O（1），但在递归中没有更多的分支。然后，因为每个递归调用的大小是原始的的一半，并且因为每个级别只有一个调用，所以运行时可以运行到O（log n），您可以使用Master确认定理。

一般来说，要警惕“我们不断削减一半的形式”的论据，因此整体工作最终成为O（log n）。这可能是真的，但是你在每一步所做的工作量对于确定运行时也非常非常重要，正如你在这里看到的那样。

Answer 2

让我们分解这里发生的事情。实际上是O（n）。对于每次调用pow（），都有两种选择：

返回0 - 这是一次操作。
用n / 2执行两次对pow（）的调用。

因此，在每次调用pow（）时，将n减少n / 2，可以在每一步上以指数方式增加问题空间。递归的第一步是两次调用pow，第二步是2 ^ 2，第三步是2 ^ 3等。对于n = 16，将有pow（...，16），pow（...，8），pow（ ...，4），pow（...，2），pow（...，1），pow（...，0），其中2 ^ 0调用pow为n = 16,2 ^ 1为n对于n = 4，为2 ^ 2，对于n = 2，为2 ^ 3，对于n = 1,2 ^ 4，对于n = 0，为2 ^ 5。

因此，我们称之为pow log（n）次，但pow调用的每次迭代都会使上一步中的调用次数增加一倍。这意味着我们有O（n）

Answer 3

不，因为它涉及递归和分支。其时间复杂度为O(n)，其空间复杂度为O(log n)。

您将获得O(log n)时间复杂度：

int pow (int a, int n) {
    if(n == 0) { return 1; }
    int halfpow = pow(a,n/2);
    return halfpow * halfpow * (n % 2 == 1 ? a : 1);
}

这个用于计算指数的递归代码的运行时是什么？

3 个答案: