这个算法的运行时间是多少？ （递归Pascal的三角形）

Question

给出以下功能：

Function f(n,m)
   if n == 0 or m == 0: return 1
   return f(n-1, m) + f(n, m-1)

f的运行时复杂性是多少？我知道如何快速和肮脏，但如何正确表征它？是O(2^(m*n))吗？

Answer 1

这是Pascal三角形的一个实例：每个元素都是它上面两个元素的总和，两边都是一个。

所以f(n, m) = (n + m)! / (n! . m!)。

现在要知道计算f所需的f(n, m)调用次数，您可以构造一个修改过的Pascal三角形：而不是上面元素的总和，考虑1 + sum（自称加上两个递归调用。）

绘制修改后的三角形，您将很快说服自己这完全是2.f(n, m) - 1。

您可以从斯特林的近似中获得二项式系数的渐近行为。 http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Bounds_and_asymptotic_formulas

f(n, m) ~ (n + m)^(n + m) / (n^n . m^m)

Answer 2

f(n, m)的运行时在O(f(n, m))。通过以下观察可以很容易地验证这一点：

Function g(n, m):
    if n=0 or m=0: return 1
    return g(n-1, m) + g(n, m-1) + 1

函数f的调用频率与g相同。此外，函数g被称为g(n, m)次，以评估g(n, m)的结果。同样，函数f的确称为g(n, m) = 2*f(n, m)-1次，以便评估f(n, m)的结果。

正如@Yves Daoust在他的回答f(n, m) = (n + m)!/(n!*m!)中指出的那样，因此O((n+m)!/(n!*m!))得到f的非递归运行时。

Answer 3

了解递归函数

f(n, 0) = 1
f(0, m) = 1
f(n, m) = f(n - 1, m) + f(n, m - 1)

对我来说，这些值看起来像Pascal triangle：

   n 0  1  2  3  4 ..
 m

 0   1  1  1  1  1 ..
 1   1  2  3  4
 2   1  3  6
 3   1  4     .
 4   1           .
 .   .
 .   .

求解递归方程

Pascal三角形的值可以表示为binomial coefficients。翻译坐标得到f：

的解决方案

f(n, m) = (n + m) 
          (  m  )
        = (n + m)! / (m! (n + m - m)!) 
        = (n + m)! / (n! m!)

这是一个在n和m两个参数中对称的好词。 （@Yves Daoust在本次讨论中首先给出的最后一个词）

Pascal的规则

f的递归方程可以通过使用二项式系数的对称性导出Pascal's Rule

f(n, m) = (n + m)
          (  n  )
        = (n + m)
          (  m  )
        = ((n + m) - 1) + ((n + m) - 1)
          (      m    )   (    m - 1  )
        = ((n - 1) + m) + (n + (m - 1))
          (     m     )   (    m      )
        = f(n - 1, m) + f(n, m - 1)

确定呼叫次数

＆＃34; f＆＃34;的呼叫次数计算函数F类似于f，我们只需要添加对f本身的调用和两个递归调用：

F(0, m) = F(n, 0) = 1, otherwise

F(n, m) = 1 + F(n - 1, m) + F(n, m - 1)

（在本次讨论中首先由@blubb提供）。

了解呼叫数量函数

如果我们写下来，我们会得到另一个三角形方案：

 1  1  1  1  1 ..
 1  3  5  7
 1  5 11
 1  7     .
 1           .
 .
 .

按值比较三角形值，一个猜测

F(n, m) = 2 f(n, m) - 1  (*)

（@blubb在本次讨论中首先提出的结果）

证明

我们得到了

F(0, m) = 2 f(0, m) - 1  ; using (*)
        = 1              ; yields boundary condition for F 

F(n, 0) = 2 f(n, 0) - 1 
        = 1

应该并检查其他条款，我们看到了

F(n, m) = 2 f(n, m) - 1                                   ; assumption
        = 2 ( f(n - 1, m) + f(n, m - 1) ) - 1             ; definition f
        = 1 + (2 f(n - 1, m) - 1) + (2 f(n, m - 1) - 1)   ; algebra
        = 1 + F(n - 1, m) + F(n, m - 1)                   ; 2 * assumption

因此，如果我们使用（*）和f的else子句，则F结果的else子句。

作为有限差分方程和F hold的起始条件，我们知道它是F（解的唯一性）。

估计呼叫次数的渐近行为

现在计算/估算F的值（即算法的运行时间）。

作为

F = 2 f - 1

我们看到了

O(F) = O(f).

因此该算法的运行时间为

O( (n + m)! / (n! m!) )

（@Yves Daoust在本次讨论中首先给出的结果）

近似运行时

使用Stirling approximation

n! ~= sqrt(2 pi n) (n / e)^n

一个人可以得到一个没有难以计算因子的形式。一个得到

f(n, m) ~= 1/(2 pi) sqrt((n+m) / (n m)) [(n + m)^(n + m)] / (n^n m^m)

因此到达

O( sqrt((n + m) / (n m)) [(n + m)^(n + m)] / (n^n m^m) )

（使用@Yves Daoust在本次讨论中首次提出的斯特林公式）