最接近超球面上的另一个点

Question

我在维数为m的超球面上有一个（大约10 ^ 5）个点（在10 ^ 4到10 ^ 6之间）。

我将对形式进行一系列查询＆＃34;给定点p，找到n点中最接近的p＆＃34;。我将对其中的n个进行查询。

（不确定超球面事实是否有帮助。）

解决此问题的简单朴素算法是，对于每个查询，将p与所有其他n个点进行比较。这样做n次最终会得到O（n ^ 2 m）的运行时间，这对我来说太大了，无法计算。

我可以使用更高效的算法吗？如果我能用一些对数因子来得到O（nm），那就很好了。

Answer 1

可能不是。具有多个维度使得有效索引极其困难。这就是为什么人们寻找机会将维数减少到可管理的范围。

有关详情，请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality和https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionality_reduction。

Answer 2

将你的空间划分为超立方体 - 调用这些单元格 - 选择边缘大小，这样平均每个立方体就有一个点。您需要一个从超级单元到它们包含的点集的地图。

然后，给定一点，检查其超晶胞是否有其他点。如果它是空的，请查看相邻的超级单元（为了简单起见，我推荐使用超级单元的文字超立方体，而不是对由超级单元构建的超球面的一些近似）。检查其他点。不断重复，直到你明白为止。假设你的积分是随机分布的，你可以在1-2次扩展中找到第二个点的几率很高。

找到一个点后，检查所有可能包含更近点的超级单元。这是可能的，因为您找到的点可能在一个角落，但在超立方体之外有一些更近的​​点，包含您目前已检查的所有超级单元。