Question

我在Interview Bit上解决了时间复杂度问题，如下图所示。

给出的答案是Θ(theta)(logn)，我无法掌握登录术语在此计划的时间复杂性中如何到达。

有人可以解释一下logn的答案是什么？

Answer 1

定理给出任何x，gcd（n，m），其中n＆lt; fib（x）是递归的，称为等于或小于x次。

注意：fib（x）是斐波那契（x），其中fib（x）= fib（x-1）+ fib（x-2）

<强>证明

<强>基

每个n＆lt; = fib（1），gcd（n，m）只有gcd（1，m）递归一次

归纳步骤

假设定理对于小于x的每个数都是有效的，这意味着：

calls(gcd(n, m)) <= x for every n <= fib(x)

考虑n其中n <= fib（x + 1）

如果m> FIB（x）的

   calls(gcd(n, m))
=  calls(gcd(m, (n-m))) + 1
=  calls(gcd(n-m, m%(n-m))) + 2  because n - m <= fib(x-1)
<= x - 1 + 2
=  x + 1

如果m＆lt; = fib（x）

   calls(gcd(n, m))
=  calls(gcd(m, (n%m))) + 1  because m <= fib(x)
<= x + 1

因此该定理也适用于x + 1，作为数学归纳，该定理适用于每个x。

<强>结论

gcd（n，m）是Θ（反向纤维），其为Θ（logn）

Answer 2

该算法生成整数(m, n)对的递减序列。我们可以尝试证明这种序列衰减得足够快。

假设我们从m_1和n_1开始，m_1 < n_1。

在每一步，我们都会n_1 % m_1 < m_1，然后对m_2 = n_1 % m_1和n_2 = m_1对进行递归重复。

现在，让n_1 % m_1 = m_1 - p代表某些p 0 < p < m_1。我们有max(m_2, n_2) = m_1 - p。

让我们采取另一个步骤(m_2, n_2) -> (m_3, n_3)，我们可以很容易地看到max(m_3, n_3) < p，但显然max(m_3, n_3) < m_1 - p也是如此，因为序列严格减少。

所以我们可以写max(m_3, n_3) < min(m_1 - p, p)，其中min(m_1 - p, p) = m_1 / 2。该结果表明序列在几何上减少，因此算法必须以最多log_2(m_1)步骤终止。