具有最小变量和的附加约束的线性方程组

Question

我有一个线性方程组，我已经使用Gauss-Jordan消除法减少为行梯形矩阵。我的系统有n个变量Xn（其中Xn是N0（=正整数））有多个解决方案，我想找到所有Xn的总和最小的解决方案。

我怎么能以编程方式？

例如，考虑这个线性方程组：

x1 +              + x5 + x6 = 2
     x2           + x5      = 1       
          x3           + x6 = 1
               x4 + x5 + x6 = 1

我想获得的最小解决方案之一是：

x3 = x4 = x5 = 0
x1 = x2 = x6 = 1 

另一个是

  x2 = x4 = x6 = 0
  x1 = x3 = x5 = 1

但我不想要

 x1 = 2
 x2 = x3 = x4 = 1
 x5 = x6 = 0

这也是这个系统的解决方案，但根据我的标准不是最小的x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 5（而对于2个第一解决方案只有3个）

如果有多个最小解决方案（比如这里，解决方案1和2都是最小的），我不关心返回的最小解决方案，只要它是最小的解决方案之一

Answer 1

由于变量都是非负的，因此这个问题基本上等同于整数编程。使用现成的整数程序求解器并制定如

minimize x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
subject to
x1                + x5 + x6 = 2
     x2           + x5      = 1
          x3           + x6 = 1
               x4 + x5 + x6 = 1
integers
x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0

（确切的语法取决于工具）。