Question

class AllSubMatrices {

    int a[][] = { { 1, 2, 3, 4, 5 }, { 6, 7, 8, 9, 10 }, { 11, 12, 13, 14, 15 }, { 16, 17, 18, 19, 20 },
            { 21, 22, 23, 24, 25 } };

    AllSubMatrices() {
    }

    int printSum(int r, int c, int len) {

        int sum = 0;

        for (int i = r; i < (r + len); i++) {
            for (int j = c; j < (c + len); j++) {
                sum = sum + a[i][j];
            }
        }

        return sum;
    }

    public void allSubMatrices() {
        for (int l = 1; l <= a[0].length; l++) {
            for (int i = 0; i <= (a[0].length - l); i++) {
                for (int j = 0; j <= (a.length - l); j++) {
                    System.out.println(printSum(i, j, l));
                }
            }
        }
    }
}

allSubMatrices的时间复杂度是多少？我所指的那本书（Cracking the coding interview）提到了o（n ^ 4）。但这对我来说并不令人信服，因为所有循环都没有运行N次，它从1变为N.我觉得它应该是o（n ^ 2）。

Answer 1

我认为它甚至 O （ n ^ 5）。我没有确切的证据，只是一个例子。如果你只计算你得到的循环的步骤：

sum(1 <= l <= n){sum(1 <= i <= n - l){sum(1 <= j <= n - l){ j^2 }}}

三个总和描述了通过立方体切割（四边形）产生的三角形图形。这个数字的体积增长如 O （ n ^ 3），完整公式增长的平方和如 O （ n ^ 5）。

Answer 2

如果n = width = height，那么它不能是O（n ^ 2），因为如果我们只接受allSubmatrices中的所有外部循环，它们将已经是O（n ^ 3）。 printSum中的两个内部循环更有趣，它们基本上是l ^ 2个操作，其中l是从1到n计数的外部循环的变量。如果我们只计算一个外环加上printSum调用，则操作数将是n个数的所有平方的总和，即n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6，即O（n ^ 3））。如果我们再添加两个循环，它将是O（n ^ 5）。

Answer 3

printSum(_, _, len)对len^2

添加sum次

然后，假设数组的宽度和高度相同，并调用数组n的宽度/高度，整体复杂性为：

sum(sum(sum(l^2 for j=0..n-l) for i=0..n-l) for l=1..n).
= sum((n-l+1)^2 * l^2 for l=1..n).

使用Wolfram Alpha来简化：

1/30 * n * (n + 1) * (n^3 + 4n^2 + 6n + 4)

那是O（n ^ 5）。

顺便提一下，问题中的代码存在问题。它看起来像支持非方形矩阵（实际上，示例矩阵是4x5）。但是，如果宽度小于高度，则代码无法正常运行，因为l的范围仅为1到a[0].length。正确的范围是1到max(a[0].length, a.length)。如果您正确地代表了图书的内容，则会出现同一问题中的两个错误。

以下算法的时间复杂度是多少？

3 个答案: