最长路径的颜色编码算法

Question

之前我想说清楚是的，这是为了大学任务，我正在寻求帮助，理解算法能够实现它。 所以我可以在这里找到这个任务：    https://www.labri.fr/perso/dorbec/AA/projet-uno.pdf

基本上我们有一套＆＃34;卡＆＃34;由2 int表示，表示卡的颜色，另一个表示数字。要完成的工作是找到最长的卡片序列，如UNO游戏，其中下一张卡片是相同的颜色或相同的数字。 为此，在诅咒期间实施了一系列算法，但我们必须实施的最后一个算法是＆＃34;颜色编码＆＃34;而现在我已经没时间了，仍然不太清楚它是如何工作的。 我会把文字的图像放在这里以保持格式。

了解它的任何帮助将不胜感激。

由于

Answer 1

我想我可以帮助你。 您的问题可以很容易地转换为最长的路径问题。找到长度为k的路径很长一段时间很难解决。即使k相对较小，比如log（n），人们仍然认为在多项式时间内不可能。

基本思路：你多次为图形着色，并希望你不小心为长度为k的路径着色。嗯，这个概率非常小，但是如果你重复很多次，概率实际上变得非常大。

但首先，让我们假设图中有一条彩色路径。什么＆＃34;有色＆＃34;甚至意味着？有色意味着具有k个节点的长度为k-1的路径以k种不同的颜色着色。如果您从节点 v 开始，其颜色为1，您会怎么做？ 你会看看你的邻居，看看他们的颜色是否与你不同。如果是，则将它们添加到名为 P（1）的集合中。 您可以继续使用其中一个邻居，看看他们是否有颜色，但尚未出现在颜色集中。只要您找到尚未看到的新颜色或者达到k-1颜色，或者您看到其中一个节点具有您已经看到的颜色，您就会这样做。在最后一种情况下，你放弃了任务并回到一切仍然良好的地方。

重要提示：我们为节点着色。长度为i的路径，有i + 1个节点和i个边缘。

更正式： 令P i（v）：= {S是（[k]选择i + 1）|的元素存在一条路径，用S中的颜色着色，以v结尾 P不是路径。 P包含一些我们称之为S的颜色。 在这种情况下，S不是数字。它是不同颜色的基数i + 1的子集。 例如： P 3（v）可能看起来像这样= {{绿色，红色，黑色，黄色}，{粉色，橙色，灰色，黄色}，{...}}。请注意＆＃34;黄色＆＃34;两次？如果我继续使用更多的子集，＆＃34;黄色＆＃34;会出现在每一套。为什么？因为它是我们终端节点v的颜色！ 所以P i（v）至少拥有一个所有不同颜色的集合S，其中一条长度为i的路径被着色。这条路径以v结尾！

这是什么意思？ 如果我们可以计算P k-1（v），并且该集合不是空的。存在长度为k的路径。真棒。

但是我们如何计算P k-1（v）？ 这并不难： 如果我们想要计算P i（v）。我们需要什么？ 我们需要P i-1（x）。 X？为什么？ x是v的邻居！ ---＆GT; g ----＆gt; y ---＆gt; o -----＆gt; x ------＆gt; v 说{绿色，黄色，橙色，x的颜色}是P i-1（x）的一个子集。我们称之为R. 记得？ P i-1（x）可以有许多不同的集合。它可能看起来像这样：{{绿色，红色，黑色，黄色}，{粉红色，橙色，灰色，黄色}，{...}}！ 那么与R，x和v的关系到底是什么？ R是一组颜色，表示长度为i-1的彩色路径，其通向x。如果作为x的邻居的顶点v具有在R中尚未出现的颜色，那么我们可以将其添加到R.但是现在R已经获得了一种颜色。它的大小| R |，现在是i + 2。 似乎这必须是P i（v）的新子集之一！为什么现在v？ 好吧，我们已经将路径扩展了一种颜色，因此最好保存在相应的设置中！ 那么到目前为止我们看到了什么： - 你有一个P i（v）集，它包含子集S，它本身包含i + 1多种颜色（不要忘记v） - 如果你有一套P k-1（v），你有一条长度为k的路径，你可以喝啤酒。 - P i（v）可以由P i-1（x）计算，其中x是v的邻居！最重要的是，你唯一需要检查的是v的颜色是否出现在P i-1（x）的一个子集中，我们称之为R.

你如何从一开始就计算它？ 你从P 0（v）开始，这只是v的颜色。 然后，对于v的每个邻居x，计算P 1（v）。如果你回忆起i-1的话，P 1（v）就是P 1-1（x）。 P 0（x）再次只是x的颜色。如果x和v的颜色不相同，它们就形成了P 1（v）的第一个子集！ 然后通过计算P 1（x）来计算P 2（v），其再次由P 0（y）计算，其中y是x的邻居。 只要我们还没有达到P k-1（v），这种情况就会持续下去。

至于复杂性：这在O（2 ^ k km）内运行。其中m是边数，k是路径长度。 所以现在我们能够在多项式时间内使用这个算法来搜索k = log n long的路径。如果它大于那个，不幸的是，它不再是多项式。

所以，现在我们有一个算法可以找到一个＆＃34; long＆＃34;多项式时间的路径。可是等等。如果路径是彩色的，它只能这样做！ 我不知道你住在哪里，但在我的世界里，图表默认不是彩色的，特别是不是不同颜色的路径。

我们必须这样做。 我们用k种不同的颜色为k长度的路径着色的概率是多少？

有k！使用k种不同颜色为图形着色的许多方法。但是有k ^ k种不同的方法来为具有k种不同颜色的路径着色，其中它们可以多次出现。示例：对于黄色= y和绿色= g，您有2个！= 2个选项，其中颜色必须不同：（y，g）或（g，y）。当颜色不必相同时，您有k ^ k = 2 ^ 2 = 4个选项。 （y，y），（g，g）和你已经看过的那些。 所以Pr [Path用diff着色。 color] = k！/ k ^ k，大于e ^ -k，与1 / e ^ k相同。 所以你同意概率非常小，对吗？ 获得第一次成功的预期尝试次数是多少？ 这是几何分布，期望值= 1 / p = e ^ k。 所以我们认为在e ^ k尝试之后我们可以希望第一次有一条彩色路径。有时它会少一些，有时甚至更多。 问题。一次尝试的失败是1-e ^ -k，非常大。但是如果我们说执行这个Te ^ k次，那么问题。 Te ^ k个连续故障变得非常小：（1-e ^ -k）^ Te ^ k＆lt; =（e ^ -e ^ -k）^ Te ^ k＆lt; = e ^ -T 所以问题。我们将在Te ^ k尝试后成功，大于1-e ^ -T。这非常小。

算法现在看起来如何？ 1）用k种不同颜色随机地着色图形。 2）执行检查是否有彩色路径的算法     如果有一个返回它。如果不是继续。 3）重复步骤1和2 Te ^ k次。 （这很有趣，相信我）。 事实上并非如此。让计算机做到。

这种算法称为蒙特卡罗型随机算法。 它的运行时间是 O（Te ^ k * 2 ^ k * km）和假的概率＆＃34;否则没有路径（但实际上有一个路径）＆＃34;小于e ^ -T（再次，非常小）。再次，对于k = log n，这个随机算法实现了多项式运行时间！