算法：从已知点的星座中找到2d方向？

Question

问题

给定一组已知的笛卡尔点（集合A），以及这些点的某些子集（集合B）的2d变换（旋转，平移，缩放），找到子集的方向（旋转，平移，缩放）相对于原来的一组点。

即。假设我在墙上拍摄了一组已知的2d点的“图片”。我想知道拍摄照片时相机相对于“直立和居中”的位置。某些点可能在图片中不可见（它们可能被遮挡）。 （在这个比喻中，假设相机是正交的，并且总是直接指向墙的平面，因此您不需要考虑失真或透视）。

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提议的方法：

步骤1：将B缩放到与A

相同的“范围”

不知道怎么样;愿意接受建议。也许在B的所有点周围采用凸包的面积，并将其缩放到接近A的凸包的位置。这很棘手，因为B可能缺少点。

步骤2：将“B”中的某些任意点与“A”中的双胞胎匹配

在集合B中选择一些随机点。调用此点K.以某种方式取K的“指纹”相对于B中的所有其他点（仅使用距离）。通过指纹识别A中的所有点并使用最相似的K指纹点来找到它在A中的匹配。

步骤3：旋转B（大约K）直到B中的所有点与A中的点对齐

可以使用多种解决方案，因此请通过360d继续旋转寻找解决方案。

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那只是从臀部射击，我可能会离开基地。有人有什么想法吗？

Answer 1

假设您实际上并不知道两个云中各点之间的对应关系，您可以尝试统计方法。

首先，计算原始云的平均值x0，然后计算子集云的平均值x1。平均向量x1-x0的差异是对所需翻译的良好估计。

现在，从每个集合中减去相关的均值向量，得到两个以原点为中心的云。计算每个云的协方差矩阵并找到其特征值和特征向量。可以从特征向量找到所需的旋转，而缩放对应于特征值。

撰写所有这些，你应该对所需的变换有一个很好的统计估计。显然，它的质量将取决于子集跨越原始集合的程度。

Answer 2

“给我一个站立的地方，我将移动地球”阿基米德

我认为我们应该遵循阿基米德的步骤

Arpi的算法： 我们必须选择坐标为（0,0）的集合A的点（X1）。 （这将是站立的地方）

选择另一个点（X2）并将其放在OX矢量上（以简化操作）

来自集合A的所有其他点坐标将基于X1（0,0）和X2（some_Coordinate，0）的坐标计算。

现在，从集合B（Y1）中选择一个点，它将是B集的中心。从集合B（Y2）中选择另一个点并将其置于B集的OX中。现在，我们有一个比例标量和一个旋转角度。如果这是一个解决方案，则B组中的Y1表示来自A组的X1，而来自B组的Y2表示来自A组的X2。如果我们可以基于此在B组和A组之间找到映射，则使用B组的所有点和Yi＆lt;＆gt;。是的，如果我＆lt;＆gt; j，其中i和j是我们表示中的点的索引，而不是我们有可能的解决方案，我们存储它。 Arpi的算法结束

要找到所有可能的解决方案，您必须执行以下操作：

foreach point in A as X1 do
    foreach point in A as X2 do
        arpi's algoritm(X1, X2)

当然，您可以对此进行优化，但为了简单起见，我在没有优化（并发症）的情况下对其进行了描述，只有在您需要时才会优化此功能。

Answer 3

我会尽量减少目标点与找到的点之间的偏差。含义我将每个目标点与找到的点配对，并对所有目标点应用任何变换（旋转，缩放或倾斜），从而减少偏差的总和。我会对所有潜在的对重复这一点，最终将匹配作为对的集合和必要的变换，总偏差最小。

真正的问题是如何优化它，使性能优于O（n ^ 2）。我想某种启发式匹配，可能是缓存中间结果，或者找到一种在过程早期消除一些对的方法。