计算产品的有效方法＆＃34;离散卷积

Question

我正在寻找一种优雅的方式来计算＆＃34;产品＆＃34;离散卷积，而不是总和。

以下是离散卷积的公式：

在这种情况下，我们可以使用：conv(x,y)

现在我想实施这些操作

当然我可以使用一个循环，但我正在寻找一个技巧来线性化这个操作。

示例：

f = [2 4 3 9 7 1]
g = [3 2 1]

dist = length(g)-1;

for ii = 1:length(f)-dist
    x(ii) = prod(f(ii:ii+dist).*g)
end

  

x =

144    648   1134    378

Answer 1

cumprod解决方案:(效率很高）

>> pf = cumprod(f);
>> x = prod(g).*pf(numel(g):end)./[1 pf(1:(end-numel(g)))]

x =

         144         648        1134         378

首先使用cumprod获取f的累积积。通过将每个元素除以之前的累积乘积3个元素，我们得到每个numel(g)宽滑动窗口的乘积f。然后乘以g。

元素的乘积

注意：当f包含许多元素或极值（大或小）时，执行累积产品时可能会出现准确性问题或下溢/溢出问题。减轻这种情况的一种可能方法是在累积产品之前应用缩放到f，然后在之后撤消它：

c = ...set a scaling factor...
pf = cumprod(f./c);
x = prod(c.*g).*pf(numel(g):end)./[1 pf(1:(end-numel(g)))];

c的选择可能类似于mean(abs(f))或max(abs(f))，因此缩放后的f会给出更有界限的结果（即值接近1）。这并没有明显改变下面的时间结果。

hankel解决方案:(效率不高但仍然有趣）

>> x = prod(g).*prod(hankel(f(1:numel(g)), f(numel(g):end)))

x =

         144         648        1134         378

对hankel的调用会创建一个矩阵，其中每列都包含其中一个numel(g)宽滑动窗口的内容。将产品放在每列中，然后乘以g元素的乘积得出答案。但是，对于大型向量f和/或g，这可能涉及大量额外计算并使用大量内存。

计时结果：

我测试了6个解决方案（问题中的循环，来自rahnema的2个解决方案（conv(log)和movsum(log)），来自Luis的bsxfun解决方案，以及我的cumprod和hankel解决方案）使用f = rand(1,1000000);和g = rand(1,100);并平均超过40次迭代。这就是我得到的（运行Windows 7 x64,16 GB RAM，MATLAB R2016b）：

solution    | avg. time (s)
------------+---------------
loop        |       1.10671
conv(log)   |       0.04984
movsum(log) |       0.03736
bsxfun      |       1.20472
cumprod     |       0.01469
hankel      |       1.17704

Answer 2

另一种解决方案部分受Dev-iL answer启发，涉及相同的问题

exp(sum(log(g))+conv(log(f),[1 1 1],'valid'))

或

exp(sum(log(g))+movsum(log(f),numel(g),'Endpoints', 'discard'))

自exp(sum(log(x))) = prod(x)

以来

但是在这里我们有两个向量f和g。

而不是一个向量

所需的配方可以重新配制为：

八度音阶时间：

f= rand(1,1000000);
g= rand(1,100);

disp('----------EXP(LOG)------')
tic
    exp(sum(log(g))+conv(log(f),ones(1,numel(g))));
toc

disp('----------BSXFUN------')
tic
    ind = bsxfun(@plus, 0:numel(f)-numel(g), (1:numel(g)).');
    x = prod(bsxfun(@times, f(ind), g(:)),1);
toc
disp('----------HANKEL------')
tic
    prod(g)*prod(hankel(f(1:numel(g)), f(numel(g):end)));
toc

disp('----------CUMPROD-----')
tic
    pf = cumprod(f);
    x = prod(g)*pf(numel(g):end)./[1 pf(1:(end-numel(g)))];
toc

结果：

----------EXP(LOG)------%rahnema1
Elapsed time is 0.211445 seconds.
----------BSXFUN--------%Luis Mendo
Elapsed time is 1.94182 seconds.
----------HANKEL--------%gnovice
Elapsed time is 1.46593 seconds.
----------CUMPROD-------%gnovice
Elapsed time is 0.00748992 seconds.

Answer 3

这是一种避免循环的方法：

ind

其工作原理如下。 g表示索引的滑动窗口，每个列对应一个位移。例如，如果3的大小为ind，则矩阵1 2 3 4 ... 2 3 4 5 ... 3 4 5 6 ... 将为

f

这用于索引g。结果乘以（带广播）<div class="drag-bound"> <div id="obj"></div> </div> $('#obj').draggable({ snap: ".drag-bound", snapTolerance: 5 }) 作为列。最后计算每列元素的乘积。