如何计算两个分布的卷积的x值？

Question

（这个问题可能适合https://stats.stackexchange.com/，但我认为这就是你在R计算我想要的东西的方式，这是我的问题。

我尝试将多个发行版添加到一起，然后查看生成的发行版。我将使用正态分布的随机变量p1和p2来举例说明我的问题。

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

我们可以绘制：

data.frame(p1, p2) %>%
  gather(key="dist", value="value") %>%
  ggplot(aes(value, color=dist)) + geom_density()

我可以使用convolve将这些发行版添加到一起。好的，这很好。但我无法弄清楚的是，如何用适当的x值绘制分布的总和。在我已经看到的示例中，看起来x值是以一种看起来并不准确的方式手动添加的。＆＃34;缺乏更好的工作。请参阅此Example。

我可以＆＃34;添加＆＃34;他们在一起并策划：

pdf.c <- convolve(pdf1.y, pdf2.y, type = "open")

plot(pdf.c, type="l")

我的问题是如何获得新发行版的相应x值。我确信从基础统计的角度来看，我错过了一些东西。

pdf1和pdf2的附录：

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

pdf1.x <- density(p1)$x
pdf2.x <- density(p2)$x

pdf1.y <- density(p1)$y / sum(density(p1)$y)
pdf2.y <- density(p2)$y / sum(density(p2)$y)

df1 <- data.frame(pdf.x = pdf1.x, pdf.y = pdf1.y, dist = "1", stringsAsFactors = FALSE)
df2 <- data.frame(pdf.x = pdf2.x, pdf.y = pdf2.y, dist = "2", stringsAsFactors = FALSE)

df <- bind_rows(df1, df2)

Answer 1

假设p1和p2均匀离散化，在连续的x值之间具有相同的间隔dx。 （我看到你在随机点上已经离散了p1和p2 - 这是不一样的，而且，如果不考虑它，我也没有答案。）让x1 = x1_0 +（k - 1）次dx，k = 1,2,3，...，n1是p1离散化的点，x2 = x2_0 +（k - 1）乘以dx，k = 1,2， 3，...，n2是p2离散化的点。

每个点xi_k = xi_0 +（k-1）次dx表示条的中心点，其具有宽度dx和高度pi（xi_k），i = 1,2。因此条的质量是dx倍pi （xi_k），当dx接近0时，所有条的总质量接近1.这些质量是卷积的值。如果离散的质量归一化为1，那么它们的卷积也将归一化为1。

要非常小心，分布离散化的范围是xi_0 - dx / 2到xi_0 +（ni - 1）乘以dx + dx / 2。计算卷积后，结果的范围同样分别是-dx / 2和+ dx / 2的第一个和最后一个点。

卷积有n = n1 + n2 - 1个点，即x1_0 + x2_0 +（k - 1）乘以dx，k = 1,2,3，...，n1 + n2 - 1.第一点是x1_0 + x2_0（即p1的第一个点加上p2的第一个点），最后一个点是x1_0 + x2_0 +（n1 + n2 - 2）乘以dx =（x1_0 +（n1 - 1）乘以dx）+（x2_0 +（ n2 - 1）乘以dx）（即p1的最后一个点加上p2的最后一个点）。从这里你可以通过seq函数或类似的东西构造对应于卷积的x值。