Question

假设我们有一系列求和 s = 1 + 2a + 3a ^ 2 + 4a ^ 3 + .... + ba ^（b-1）

我需要找到s MOD M，其中M是素数，b是相对大的整数。

我找到了一个O（（log n）^ 2）分而治之的解决方案。哪里， g（n）=（1 + a + a ^ 2 + ... + a ^ n）MOD M

f（a，b）= [f（a，b / 2）+ a ^ b / 2 *（f（a，b / 2）+ b / 2 * g（b / 2））] MOD M ，其中b是偶数 f（a，b）= [f（a，b / 2）+ a ^ b / 2 *（f（a，b / 2）+ b / 2 * g（b / 2））+ ba（b-1 ）] MOD M，其中b是奇数

是否有针对此问题的O（log n）解决方案？

Answer 1

是。请注意1 + 2a + 3a^2 + ... + ba^(b-1)是a中1 + a + a^2 + a^3 + ... + a^b的衍生物。（正式权力系列的领域涵盖了很多这样的技巧。）我们可以用automatic differentiation with dual numbers及时O(log b)算术运算来评估后者。像这样：

def fdf(a, b, m):
    if b == 0:
        return (1, 0)
    elif b % 2 == 1:
        f, df = fdf((a**2) % m, (b - 1) / 2, m)
        df *= 2 * a
        return ((1 + a) * f % m, (f + (1 + a) * df) % m)
    else:
        f, df = fdf((a**2) % m, (b - 2) / 2, m)
        df *= 2 * a
        return ((1 + (a + a**2) * f) % m, (
            (1 + 2 * a) * f + (a + a**2) * df) % m)

答案是fdf(a, b, m)[1]。当我们从a**2的导数到关于a的导数时，请注意使用链规则。

对于[1 + 2a + 3a ^ 2 + 4a ^ 3 + .... + ba ^（b-1）] MOD M

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