我的一位同事问了我一个问题：o(1)（little o notation）集是否为空？
我的问题是：o(1)是空集吗？如果没有，是否有一个时间复杂度o(1)的程序？
提醒，Cormen定义了小o：
如果有任何正面的函数，则
f(n)被称为o(g(n))常量c>0，对于所有n0 > 0，0 <=f(n) < cg(n)存在常量n>= n0。
直观地说，如果f(n)在o(g(n))中，如果它在O(g(n))中，但这个界限不紧张。
答案 0 :(得分：9)
集o(1)不为空。
首先要记住f(x)当前o(g(x))当且仅当
lim_x-＆gt;无穷大{f（x）/ g（x）} = 0
对于非零g（x）
但更重要的是，候选人f(x)是什么？
有些人在所有real functions [1] 上定义它，即f:R->RU{U}（其中U未定义某些函数值）。这意味着，我们可以使用任何真实函数，包括函数f(x)=1/x。
我们还可以看到g(x)=1是一个非零函数，实际上是：
lim_x-＆gt; infinity {1 / x / 1} = 0
这意味着，o(1)包含函数f(x)=1/x，我们可以断定该集合为空。
Knuth还将函数g(n) = n^-1称为有效函数，并在his explanation of big O,Omega and Theta (1976)中使用O(n^-1)
其他人，Cormen就是其中之一，将集合定义为f：N＆gt; N，其中N = {0,1，...}，这也包括f(x)=0，它再次保留了条件为o（1）。 [2]
T(n)
o(1)的算法
虽然在实数上定义了很少的符号，但算法的复杂性函数却没有。它们是在自然数 [3] 上定义的。你要么做指示，要么不做。你不能做一半的指令，或e -1 指令。这意味着，复杂度函数集为f:N->N。因为没有＆＃34; empty program＆＃34;没有指令（回想一下调用它本身的开销需要时间），它甚至将这个范围缩小到f:N->N\{0}。
换句话说，对于算法T(n)以及所有n>0，T(n)>0的任何复杂度函数。
我们现在可以回到我们的公式：
lim_x-＆gt; infinity {T（x）/ 1}＆gt; = lim_x-＆gt; infinity {1/1} = 1＆gt; 0
这表明o(1)中没有正面的自然函数，我们可以得出结论，没有算法具有o(1)中的复杂函数。
脚注：
（1）如果你不确定它，请回忆泰勒系列，在某些时候我们停止添加无限系列，并提到它是O(x^n)。我们隐藏的功能＆＃34;在这个大O符号中并没有超过自然数。
（2）然而，如果我们将集合N + = {1,2，...}定义为正自然数的集合，并且o（g（n））是正自然函数的子集， o（1）是一个空集，其证明与没有算法具有这种复杂性的证明相同。
（3）嗯，对于普通情况，图像可以是非自然数，但我们假设这里的情况最复杂，尽管声称仍然可以保持平均情况，因为没有空程序
答案 1 :(得分：1)
从little o的定义来看，为了满足这个条件（是o（1）），必须有在任意短时间内完成的算法。
这与图灵机的定义相矛盾，图灵机需要“将无限带标记为正方形（有限尺寸）”。只有这个解决方案是空的图灵程序执行0指令
但是，这样的程序无法构建，因为它需要机器，它以终止状态启动，因此不能执行任何其他程序而不是图灵机。
答案 2 :(得分：1)
函数f（n）= 0在o（1）中，因此o（1）不为空。因为对于每个c> 0，f（n）<1。 c * 1。
关于程序的时间复杂度是否为o（1），这是一个观点（或定义）的问题。如果您认为某个程序可以在没有基本操作的情况下存在，那么它将具有o（1）中的时间复杂度。如果你认为一个程序不存在而没有基本操作，那么无论输入如何，它总是需要至少1个时间单位，并且在little-o的定义中选择c = 0.5可以证明它的时间复杂度是不是o（1）。