Question

有人可以为我打破这个吗？为什么不能在两次乘法中完成？

复数的乘法

如果计算所需的乘法次数被视为其难度的度量，并且这些计算是使用复数进行的，那么很自然地要问有多少实数乘法是必要的。评估复杂产品的实部和虚部。自然形成复杂产品的方式需要四次实际乘法。但是，它可以在三次但不是两次乘法中完成。

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

a(c+d) - d(a+b) = ac - bd
 (1)      (2)

a(c+d) + c(b-a) = ad + bc
          (3)

定理 - 对两个复数乘积的求值需要三次实数乘法，即使不计算乘以实数常数也是如此。

证明草图由于复数乘法的实部和复数部分都不能在一次实数乘法中确定，如果这个计算可以在两次乘法中完成，那么就可以做一些选择C _i，W _i，X _i，Y _i和Z _i以下列方式。

ac - bd = C₁(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
            (W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
        + C₂(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
            (W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)
ad + bc = C₃(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
            (W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
        + C₄(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
            (W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)

这导致20个未知数中的20个非线性方程，C _i，W _i，X _i，Y _i和Z _i其中（i = 1,2,3,4），没有真正的解，因此无法在两次实数乘法中执行复数乘法

来源：

Munro，伊恩。＆＃34; 40-44＆＃34; http://dl.acm.org/。 PROC。第三届年度ACM计算机理论研讨会论文集，俄亥俄州，Shaker Heights。埃德。 Michael A. Harrison，Ranan B. Banerji和Jeffrey D. Ullman。 Acm，1971年5月3日。网站。 2016年11月26日。http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=800157.805036。

Answer 1

所以，这里证明的定理基本上是，“即使你可以按照自己喜欢的方式进行多次加法，减法和乘法 - 预定常数，你也无法计算 ac-bd 和 ad + bc 没有做至少三次乘以 - 非 - 预定量。“

（注：此后，我将“两个非预定数量的乘法”缩写为“MNPQ（s）”。）

证明开始时指出，你只能用一个MNPQ来计算{ ac-bd ， ad + bc }中的任何一个。因此，只有两个 MNPQ才能计算两者的唯一方法就是如果你能以某种方式“共享”那些MNPQ，同时使用它们的两个结果{< em> ac-bd ， ad + bc }。

顺便提一下，证据依赖于未说明的前提，即如果你所有的东西都是加法，减法和乘法 - 按预定常数，那么最终你所做的任何事情都只相当于你的线性组合。投入。（你知道为什么吗？）所以两个MNPQ都是{ a ， b ， c ，的线性组合的乘法运算d }，以及“分享”其结果的方式将是{ ac-bd ， ad + bc }两种不同的线性组合这些MNPQ的结果。（一个完整的证明需要更彻底的论证，关于一个MNPQ的结果可能是另一个的参数的可能性，以及最终线性组合不仅包含结果的可能性。 MNPQ还有{ a ， b ， c ， d };但这只标有“草图”证明“，所以我想它不必担心这些事情。”

如果接受这个前提，那么我们可以将两个MNPQ写成（W 1 + + X 1b + Y 1c + Z 1d）·（W 2 a + X 2b + Y 2c + Z 2d）和（W 3 a + X 3b + Y 3c + Z 3d）·（W→a + X 4b + Y 4c + Z 4d），它们的两个线性组合（ ac-bd 和 ad + bc ）为C 1（MNPQ）1 + C 2（MNPQ）2和C 3（ MNPQ）₃+ C 4（MNPQ）₄。如果你然后将所有东西相乘，你得到一个方程系统来解决 - 未知数要解决为魔法常数W 1，X 2，C 3等 - 除了，事实证明，这个方程组实际上没有解。因此，没有一组魔法常量会启用此方法，因此这种方法是不可能的，因此您需要执行至少三个MNPQ才能计算 ac-bd 和 ad + bc < / em>的

Answer 2

证据是矛盾的。

假设我们可以通过2次实数乘法来评估两个复数的乘法，那么您需要评估 ac-bd 和 ad + bc 使用2次乘法。

它应该具有您发布的方式，其中两个评估由完全相同的两个乘法组成，具有不同的实常数系数 C1，C2，C3，C4 其中 Xi，Yi，Zi，Wi 也应该是实数。

由于 a ^ 2，b ^ 2，c ^ 2，d ^ 2，ab，ac，ad，bc，bd，cd 的系数应该在两个方程中匹配，我们有20个具有20个未知数的非线性方程。例如， ac-bd的第一次评估中 a ^ 2 的 C1 * W1 * W2 + C2 * W3 * W4 = 0 即可。该证据进一步声称该系统没有真正的解决方案，因此该假设不成立。

少于3次乘法的两个复数的乘积

2 个答案: