我们按如下方式进行复数乘法：
(a + i * b) * (c + i * d) = (a * c - b * d) + i * (a * d + b * c)
结果的实部和虚部是
real part = (a * c - b * d)
imag part = (a * d + b * c)
这涉及四次实数乘法。我们怎么能只用三次实数乘法呢？
答案 0 :(得分：23)
您对两个数字感兴趣：A=ac−bd和B=ad+bc。
计算三个实数乘法S1=ac，S2=bd和S3=(a+b)(c+d)。
现在您可以将结果计算为
A=S1−S2和B=S3−S1−S2。
此过程称为Karatsuba乘法，在算法分析中使用很多。
用于找到最接近的一对点。
答案 1 :(得分：9)
为了完整起见，我想指出Gauss' complex multiplication algorithm，这是另一种只用三次乘法进行复数乘法的方法。总结一下，你计算
k1 = c * (a + b)
k2 = a * (d - c)
k3 = b * (c + d)
Real part = k1 - k3
Imaginary part = k1 + k2
答案 2 :(得分：6)
某些算法，例如Split-radix FFT对复数乘法设定了更高的期望，需要3个实数乘法和3个实数乘法的复杂性。
(a+ib)(c+id)=ac−bd+i(ad+bc)
x=a(c−d)
y=a+b
z=a−b
ac-bd=zd+x
ad+bc=yc−x
在FFT中，y和z完全来自旋转因子，因此它们可以预先计算并存储在查找表中。因此满足了要求。 FFT Tricks
答案 3 :(得分：3)
Vallabh Patade已经回答了如何在两个复数之间执行产品，只有三个实数乘法。 Karatsuba 算法的应用确实如下
x = a + i * b;
y = c + i * d;
real(x * y) = a * c - b * d;
imag(x * y) = (a + b) * (c + d) - a * c - b * d;
现在问题是：我们能否在两个复数之间执行产品， 比三个实数乘法
答案是否，由 Winograd定理提供
S. Winograd, "On the number of multiplications required to compute certain functions", Commun. Pure Appl. Math. 23 (1970), 165-179.
计算两个复数之间的乘积所需的最小乘法数为3 。
答案 4 :(得分：0)
如果要混合使用加法和乘法，Winograd实际上是正确的。但是，如果您只想进行复数乘法，则可以使用对数极坐标表示，即乘法仅增加了对数幅度和角度。 但是对数极地加法当然很难！ 对数极坐标可能适合有限精度的FFT，例如微处理器上的8位对数幅度+ j8位相位。