你如何计算第二个Loop复杂度？

Question

对于python中的for循环：

for(int a = 1 ; a < N ; a*=2)
      for(int b =1 ; b <N ; b++)

我知道代码在O(n*log(n))中完成，但如果循环是：

For(int  a = 1 ; a <N ; a*=2)
    for(int b = 1 ; b < a ; b++)

它还会在O(n*log(n))完成吗？

Answer 1

是（不）。严格按照Big O的定义，我们将在下面看到第二个算法是O(n*log(n))，但有更好的约束。

首先，让我们回顾第一个循环的想法。如果我们将每个循环迭代称为一个计算单位，我们可以说计算的总量是sum(sum(1 from 0 to N) from 0 to log2(N))，它只是N log2(N)（可能是一个）。此结果显示第一组循环为O(N log(N))。

现在是第二盘。重复上述步骤，我们得到sum(sum(1 from 0 to *a*) from 0 to log2(N)) = (log2(2 N) log2(4 N)) <= k [log(N)]^2，因此第二个算法为O(log^2(N))（称为 polylogarithmic ）。

请注意，k N log(N)（对于某些k）仍然是第二个算法的上限，因此严格来说它仍然是O(N log(N)。

以下是运行时预期增长的图像：

红色是第一组循环，绿色是第二组循环，蓝色是2N log(N)。