Question

我的证明中出现了'f'功能。我需要表明，当它的两个争论都是相同的数字时，它等于零。实际上，函数f相当于“大于或等于”函数“geq”。

我正在使用https://github.com/HoTT/HoTT库，但显然问题不是特定于库的，所以我在下面创建了一个自包含的示例。它至少应该与Coq v8.5一起运行。来自库的部分代码：

Local Set Typeclasses Strict Resolution.
Local Unset Elimination Schemes.
Global Set Keyed Unification.
Global Unset Refine Instance Mode.
Global Unset Strict Universe Declaration.
Global Unset Universe Minimization ToSet.
Inductive paths {A : Type} (a : A) : A -> Type :=
  idpath : paths a a.
Arguments idpath {A a} , [A] a.
Scheme paths_ind := Induction for paths Sort Type.
Arguments paths_ind [A] a P f y p.
Scheme paths_rec := Minimality for paths Sort Type.
Arguments paths_rec [A] a P f y p.
Definition paths_rect := paths_ind.
Notation "x = y :> A" := (@paths A x y) : type_scope.
Notation "x = y" := (x = y :>_) : type_scope. 

Inductive Bool := true | false.

Fixpoint add n m :=
  match n with
  | 0 => m
  | S p => S (add p m)
  end.

主要部分：

Definition code_n := (fix code_n (m n : nat) {struct m} : Bool :=
       match m with
       | 0 =>
           match n with
           | 0 => true
           | S n' =>false 
           end
       | S m' =>
           match n with
           | 0 => false
           | S n' => code_n m' n'
           end
       end).

Definition f (m:nat) := (fix acc (m0 : nat) : nat :=
   match m0 with
   | 0 => 0
   | S m1 => add (if code_n m1 m then 1 else 0) (acc m1)
   end).

Eval compute in f 1 1. (*=0*)
Eval compute in f 1 2. (*=1*)
Eval compute in f 2 2. (*=0*)
Fixpoint impprf (m:nat): f m m = 0. (*How to prove it??*)

作为第一步，当两个参数相等时，很容易证明code_n为真：

Fixpoint code_n_eq (v : nat): (code_n v v) = true 
:= match v as n return (code_n n n = true) with
   | 0 => @idpath Bool true
   | S v0 => code_n_eq v0
   end.

第二步：问题可以重新表述为证明

code_n_eq (S m) (S m) = code_n_eq m m.

或者，也许，

(0 = code_n_eq m m)-> (0 =  code_n_eq (S m) (S m) ).

Answer 1

为了使证明更容易，我不得不用他们的标准类似物替换你的自定义定义，并且我已经采取了一些自由来重新安排代码。如果您使用bool代替Bool和+而不是add，则可以恢复更改并查看所有内容仍然有效。

Fixpoint code_n (m n : nat) {struct m} : bool :=
  match m, n with
  | 0, 0 => true
  | 0, S _ | S _, 0 => false
  | S m', S n' => code_n m' n'
  end.

Fixpoint f (m n :nat) : nat :=
  match n with
  | 0 => 0
  | S n' => (if code_n n' m then 1 else 0) + (f m n')
  end.

接下来我将使用一些证明自动化来展示主要想法，而不是陷入细节困境。通常，当我们通过归纳试图证明引理时，首先证明一个更强的陈述更容易（甚至可能是唯一的方法）。

Require Import Omega.  (* to use `omega` magical tactic *)

Lemma code_n_eq m n :
  (code_n m n) = true <-> m = n.
Proof.
  revert n; induction m; destruct n; try easy; firstorder.
Qed.

(* generalize what we want to prove *)
Lemma gte m n :
  m >= n -> f m n = 0.
Proof.
  revert m; induction n; destruct m; try easy; firstorder.
  simpl. destruct (code_n n (S m)) eqn:E.
  - apply code_n_eq in E; omega.
  - assert (m >= n); firstorder.
Qed.

Lemma impprf (m:nat): f m m = 0.
Proof. apply gte. auto. Qed.

通过修复减少条款。（Coq的）

1 个答案:

通过修复减少条款。 （Coq的）

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通过修复减少条款。（Coq的）