使用参数函数

Question

我有一个l_1行，其中有一个点系列p_1,...,p_n。我现在想要一个新l_2行k点q_1,...,q_k.但是对于所有i \in {1,...,k-1}: abs( q_i - q_i+1 ) = const，意味着l_2的段是等距或均匀的。

k >= 2
和p_1和p_n应位于l_2。
abs( p_i - p_i+1 )不是const

一种解决方案是使用样条曲线逼近一条线，然后再次对其进行二次采样，以获得均匀的长度段。我可以做得更好吗？那有什么C ++代码吗？

啊，我错过了一个具体的细节：q_i应该在l_1，这意味着它们位于l_1的线段上，或者它们是{{的样本点1}}。

Answer 1

使用参数函数

您可以定义分段参数函数：

 f[t_] := Piecewise[
      When x[i] <= t <= x[i + 1]

         f[t]= (y[i+1]-y[i]) (t - x[i]) / (x[i+1]-x[i]) + y[i], 

      For {i, 1 ... N};

然后选择你的点q，理想情况下间距小于最小p [i + 1] -p [i]

最后以相等的t间隔对f [q]进行采样。

示例结果：

alt text

在这里，您可以看到原始样本中将间隔大小从最大值减小到最小值的效果：

alt text

您可以评估近似的优点，将原始曲线和重新采样曲线之间的区域（积分）相加：

alt text

如果您绘制不同间隔大小的积分，您可以决定什么是良好的采样：

alt text

仅为了记录，Mathematica中的代码是：

a = 0;
p = Table[{   a = a + RandomReal[], RandomReal[]}, {10}];
f[t_, h_] := Piecewise[Table[{(h[[i + 1, 2]] - h[[i, 2]]) (t - h[[i, 1]]) /
                              (h[[i + 1, 1]] - h[[i, 1]]) + h[[i, 2]],
                       h[[i, 1]] <= t <= h[[i + 1, 1]]}, 
                       {i, 1, Length[h] - 1}]];

minSeg[h_] := Min[Table[Norm[h[[i, 1]] - h[[i + 1, 1]]], {i, Length[h] - 1}]];

newSegSize[h_] := (h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/
                  Ceiling[(h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/minSeg[h]]

qTable = Table[{t, f[t, p]}, {t, p[[1, 1]], p[[Length@p, 1]], newSegSize[p]}];

编辑：回答您的评论

评论pgm代码：

a = 0; (* Accumulator to ensure an increasing X Value*)

p = Table[{a = a + RandomReal[], 
    RandomReal[]}, {10}]; (*Generates 10 {x,y} Rnd points with \
                            increasing x Value*)

f[t_, h_] :=  (* Def. a PWise funct:
                Example of resulting function:
                     f[t,{{1,2},{2,2},{3,4}}]
                Returns teh following function definition:

                    Value          for Range
                     2             1<=t<=2
                 2+2*(-2+t)        2<=t<=3
                     0             True
              *)
  Piecewise[
   Table[{(h[[i + 1, 2]] - 
           h[[i, 2]]) (t - h[[i, 1]])/(h[[i + 1, 1]] - h[[i, 1]]) + h[[i, 2]],
           h[[i, 1]] <= t <= h[[i + 1, 1]]},
           {i, 1, Length[h] - 1}]];

  minSeg[h_] := (* Just lookup the min input point separation*)
               Min[Table[Norm[h[[i, 1]] - h[[i + 1, 1]]], {i, Length[h] - 1}]];

  newSegSize[h_] := (* Determine the new segment size for having
                       the full interval length as a multiple of the
                       segment size *)
                   (h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/
                    Ceiling[(h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/minSeg[h]]

   qTable =     (*Generates a table of points using the PW function *)
         Table[
               {t, f[t, p]},
               {t, p[[1, 1]], p[[Length@p, 1]],newSegSize[p]}];

   ListLinePlot[{qTable, p}, PlotStyle -> {Red, Blue}] (*Plot*)

Answer 2

这取决于你的要点 - 它们是什么？如果他们定义了一条平滑线，那么重新采样三次样条是一个不错的选择。

基本上，如果你使得点等距离，你需要定义你想要在点之间看到的东西 - 平滑度比坚持原始线更重要吗？有速度限制吗？

据我所知，你可能会在这里得到一个迭代过程，因为如果你的原始点定义了一条平滑线，那么计算该线的长度并不简单，更不用说将它分开了。分成相等的部分并确定这些点的坐标。

如果使用三次样条曲线，对于每个样条曲线，您应该能够通过Wikipedia's Arc Length article上的公式计算其长度。但是，它需要您进行集成 - 当您进行数值积分时，它被称为“quadrature”。对于三次方（计算两个原始点之间的线段长度），这应该最终为三次样条系数的加权和 - 特别是如果使用高斯求积法。

然而，您可以使用分段三次多项式（从2个点生成一个三次多项式，在它们两侧生成2个点）和一个迭代算法来获得合理的答案，该算法可以改善xi的猜测值以给出等距点。但这是假设你想要速度而不是准确性。

如何等距重采样线（或曲线）？

2 个答案:

使用参数函数