如何检查所有可能的数组矩形的总和

Question

我们假设我们有一个二维数组A（n X n）。 A的所有元素都是O或1.我们还有一个给定的整数K.我们的任务是找到A中所有可能的“矩形”的数量，其中包含总和K的元素。

To give an example , if A = 
0 0 1 0 
1 0 0 1
1 1 1 1
1 0 0 1   and k=3 ,

0 0 1 0
1 0 0 1  holds the property ,

1 1 1 holds the property ,

  1 1 1 holds the property ,

0 0 
1 0 
1 1 holds the property ,

1 1
1 0  holds the property ,

    1 1
    0 1  holds the property ,

1
1
1  holds the property

1
1
1 holds the property 

所以除非我错过了什么，否则这个例子的答案应该是8。

换句话说，我们需要检查A中所有可能的矩形，看看它们的元素之和是否为K.有没有办法比O（n ^ 2 * k ^ 2）更快地完成它？

Answer 1

您可以在O（n ^ 3）中执行此操作。

首先请注意，summed area table允许您在给定O（n ^ 2）预处理时间的情况下计算O（1）时间内任何矩形的总和。

在这个问题中我们只需要对列进行求和，但一般技术值得了解。

然后，对于每个起始行和结束行组合，您可以在矩阵中进行线性扫描，以使用两个指针方法计算解决方案，或者仅通过存储先前的总和。

示例Python代码（找到您示例的14个解决方案）：

from collections import defaultdict
A=[[0, 0, 1, 0],
[1, 0, 0, 1],
[1, 1, 1, 1],
[1, 0, 0, 1]]
k=3

h=len(A)
w=len(A[0])

C=[ [0]*w for i in range(h+1)]
for x in range(w):
    for y in range(1,h+1):
        C[y][x] = C[y-1][x] + A[y-1][x]
# C[y][x] contains sum of all values A[y2][x] with y2<y

count=0
for start_row in range(h):
    for end_row in range(start_row,h):
        D=defaultdict(int) # Key is sum of columns from start to here, value is count
        D[0]=1
        t=0 # Sum of all A[y][x] for x <= col, start_row<=y<=end_row
        for x in range(w):
            t+=C[end_row+1][x] - C[start_row][x]
            count += D[t-k]
            D[t] += 1
print count

Answer 2

我认为它比你计算的更糟糕。我发现总共有14个矩形，有3个1（绿色方块）。我使用的方法是将数组中的每个{row,column}位置作为矩形的左上角，然后考虑宽度和高度的每种可能组合。

由于宽度和高度不受k约束（至少不是直接约束），因此搜索时间为O(n^4)。当然，对于任何给定的{row,column,width}，当高度大于k时，搜索结束。但这并没有改变最坏的情况。

不需要考虑右下角的三个起点，因为从这些位置开始构建包含k 1的矩形是不可能的。但同样，这并没有改变时间复杂性。

_{注意：我知道这不仅仅是一个评论，而是一个答案。但是，它并不适合评论，我相信它对OP仍然有用。在完全理解之前，您无法解决问题。}