低通图像滤波器问题

Question

我需要在图像上应用简单的低通滤波器，但这需要在频域中完成。然而，最终结果是一个非常嘈杂的图像，表明我的过程在某处不正确。

我的思想轨迹已经

1）使图像居中（Testpatt）并应用2D FFT

tpa1 = size(Testpatt, 1); tpa2 = size(Testpatt, 2);
dTestpatt = double(Testpatt);


for i = 1:tpa1
    for j = 1:tpa2

        dTestpatt(i,j) = (dTestpatt(i,j))*(-1)^(i + j);
    end
end

fftdTestpatt = fft2(dTestpatt);

2）生成低通滤波器并将其与傅立叶变换图像相乘（注意：低通滤波器需要在半径范围内为1的圆圈）

lowpfilter = zeros(tpa1, tpa2);
Do = 120;

for i = 1:tpa1
    for j = 1:tpa2


       if sqrt((i - tpa1/2)^2 + (j - tpa2/2)^2) <= Do
           lowpfilter(i,j) = 1;
       end

   end
end


filteredmultip = lowpfilter*fftdTestpatt;

3）采用逆2D FFT的实部，并恢复居中。

filteredimagecent = real(ifft2(filteredmultip));


for i = 1:tpa1
    for j = 1:tpa2

        filteredimage(i,j) = (filteredimagecent(i,j))*(-1)^(i + j);
    end
end

非常感谢任何帮助或评论。

Answer 1

我很惊讶为什么这并没有给你一个错误，但你正在执行矩阵乘法，而不是频域中的逐元素乘法。回想一下，频域中的滤波需要两个变换信号的逐元素乘法，以在空间域中执行等效的covnvolution操作。您只需更改乘法语句，使其与元素相当：

filteredmultip = lowpfilter.*fftdTestpatt;

此外，请确保在显示之前将图像转换回与原始图像相同的数据类型。例如，如果您的图片为uint8，则您希望使用im2uint8进行转换。这主要用于显示目的和将图像写入文件。如果您在代码中将其保留为double，则显示图像将显示为大部分为白色，因为显示double类型的图像假定值的范围来自[0,1]。

作为旁注，我怀疑你没有得到错误的原因是因为你的图像和滤镜是方形的，所以矩阵乘法的尺寸是有效的。如果您决定在非方形图像上执行此操作，您肯定会收到错误。

警告 - 使用理想的低通滤波器

您正在实施的是使用理想低通滤波器进行过滤，因此当您低通滤波器时，您将看到振铃效果。之所以如此，是因为这直接来自信号处理理论。它需要空间域中的大量（或相当无限......）数量的正弦曲线来实现频域中的硬边缘。请记住，FFT是根据正弦曲线分解信号。当您使用此低通滤波器来过滤图像时，这可视化为重建图像中的振铃，因为硬边需要大量的正弦曲线（因此振铃的事实）来创建它们。

为了向您展示这些效果，让我们演示一个示例图像。我将使用摄影师图像作为图像处理工具箱的一部分。如果我使用半径Do = 40并运行您的代码（更正），这是原始图像，这是我在过滤后得到的：

正如你所看到的那样，非常糟糕。振铃来自频域中滤波器的硬边缘。当你离中心越来越远时，人们倾向于使用更加渐进的幅度减小。一个很好的例子是高斯模糊。你要做的是定义标准差，然后创建一个与代表2D高斯的图像大小相同的掩码。

回想一下，2D高斯可以表示为：

^{来源：Wikipedia}

您只需遍历所有像素坐标并计算上述等式。因为你真的不需要这样做，所以我没有乘以前面的比例因子。因此，您可以使用此代码生成高斯蒙板，这与您的两个for循环相同，但更多的是向量化。我定义了一个2D坐标网格，其尺寸与图像相同，然后针对图像中的每个位置运行等式。我们当然需要居中内核，因此您必须像使用之前的低通滤波代码一样在图像中间偏移。我还决定使用您的Do变量作为标准偏差。

Do = 40;
[X,Y] = meshgrid(1:tpa2, 1:tpa1);
lowpfilter = exp(-((X - (tpa2/2)).^2 + (Y - (tpa1/2)).^2) / (2*Do*Do));

所以我们现在把它作为过滤器响应：

...当我过滤时，我得到：

与原始图像比较：

正如您所看到的，模糊效果要好得多。没有响。因此，当您过滤图像时，请确保避免过滤器中的硬边缘，因为这会在空间域中产生振铃伪影。

更多建议

我还有一些建议可以帮助您快速运行此代码。

避免使用循环使图像居中

正如您从信号处理理论中已经知道的那样，如果您预先将图像中的像素值乘以(-1)^(i+j)，其中(i,j)是您要过滤的像素的空间位置，这会使您居中频域中的图像。我实际上会避免使用循环来执行此操作，然后先使用FFT 然后使图像居中。您可以使用名为fftshift的函数为您执行居中。首先对图像进行FFT，然后在以下情况下调用此函数：

fftdTestpatt = fft2(dTestpatt);
fftdTestpatt = fftshift(fftdTestpatt); % Centre the FFT

避免使用循环生成过滤器

我也会避免使用循环来生成过滤器。具体来说，对于具有理想滤波器的代码，请使用与高斯滤波器相同的逻辑替换代码。我们还可以删除sqrt操作，并确保您与半径的平方进行比较，以避免任何不必要的计算：

[X,Y] = meshgrid(1:tpa2, 1:tpa1);
lowpfilter = (X - tpa1/2).^2 + (Y - tpa2/2).^2 <= Do^2;
lowpfilter = double(lowpfilter);

在上面的代码中特别注意元素功率操作（.^）。最后一个语句很重要，因为我们需要将结果强制转换回double，因为首先生成过滤器实际上会为您提供logical类型。我们需要double类型以确保FFT的精度得到遵守。

过滤后避免循环到图像

在您完成过滤后，再次乘以(-1)^(i+j)即可完成过滤。使用FFT过滤后，使用相关的ifftshift函数来查看图像：

filteredmultip = ifftshift(filteredmultip); % Uncentre first
filteredimage = real(ifft2(filteredmultip));