Question

我需要以某种方式计算点和椭圆之间的距离。我在程序中将Ellipse描述为坐标x = a cos phi和y = b sin phi（其中a，b是常数，phi是变化角度）。

我想计算点P和椭圆之间的最短距离。我的想法是从我的椭圆中心和点P计算矢量，然后找到从中心开始并在点P的方向到达椭圆的末端的矢量，并在末尾减去两个矢量距离（这可能不会给出最短的距离，但它仍然可以满足我的需要。问题是我不知道如何计算第二个向量。有人有更好的想法或者可以告诉我如何找到第二个向量？

提前致谢！

EDIT1：

问题：计算角度不会在ELLIPSE上给出正确的观点

根据 MARTIN R 的建议，我得到了这个结果：

白色部分是由他计算距离的程序创建的。我使用从中心P（椭圆）到身体中心的向量计算角度phi。但是当我使用椭圆方程中的角度来获得应该留在椭圆上的点但是也具有相同的第一个计算向量的方向（如果我们将该点视为向量）它实际上给出了显示的“延迟”向量上方。

可能是什么问题？我无法真正理解这种行为（它可能与atan2有关吗？）

EDIT2： 我还表明，在椭圆的另一半，它给出了这个结果：

因此，我们可以看到唯一可行的情况是phi = -+pi/2和phi = -+pi

实施失败

我尝试使用 MARTIN R 的实现，但我仍然弄错了。

起初我以为它可能是中心（并不总是一样），我改变了实现方式：

func pointOnEllipse(ellipse: Ellipse, p: CGPoint) -> CGPoint {

    let maxIterations = 10
    let eps = CGFloat(0.1/max(ellipse.a, ellipse.b))

    // Intersection of straight line from origin to p with ellipse
    // as the first approximation:
    var phi = atan2(ellipse.a*p.y, ellipse.b*p.x)

    // Newton iteration to find solution of
    // f(θ) := (a^2 − b^2) cos(phi) sin(phi) − x a sin(phi) + y b cos(phi) = 0:
    for _ in 0..<maxIterations {
        // function value and derivative at phi:
        let (c, s) = (cos(phi), sin(phi))
        let f = (ellipse.a*ellipse.a - ellipse.b*ellipse.b)*c*s - p.x*ellipse.a*s + p.y*ellipse.b*c - ellipse.center.x*ellipse.a*s + ellipse.center.y*ellipse.b*c
        //for the second derivative
        let f1 = (ellipse.a*ellipse.a - ellipse.b*ellipse.b)*(c*c - s*s) - p.x*ellipse.a*c - p.y*ellipse.b*s - ellipse.center.x*ellipse.a*c - ellipse.center.y*ellipse.b*s

        let delta = f/f1
        phi = phi - delta
        if abs(delta) < eps { break }
    }

  return CGPoint(x: (ellipse.a * cos(phi)) + ellipse.center.x, y: (ellipse.b * sin(phi)) + ellipse.center.y)

}

我们可以看到这里发生了什么：

这很奇怪，所有要点都留在那个“象限”中。但是我也注意到当我将绿色框移动到远离椭圆的位置时，似乎得到了适合距离的向量。

它可能是什么？

结束结果

使用 MARTIN R 的更新版本（3次迭代）

Answer 1

x = a cos(phi), y = b sin (phi)是一个椭圆，中心位于您的问题中描述的原点和方法可以像这样实现：

// Point on ellipse in the direction of `p`:
let phi = atan2(a*p.y, b*p.x)
let p2 = CGPoint(x: a * cos(phi), y: b * sin(phi))

// Vector from `p2` to `p`:
let v = CGVector(dx: p.x - p2.x, dy: p.y - p2.y)

// Length of `v`:
let distance = hypot(v.dx, v.dy)

你是对的，这不会给出最短的距离椭圆的点。这需要解决4度多项式方程，例如参见distance from given point to given ellipse或 Calculating Distance of a Point from an Ellipse Border

这是算法的可能实现在http://wwwf.imperial.ac.uk/~rn/distance2ellipse.pdf中描述：

// From http://wwwf.imperial.ac.uk/~rn/distance2ellipse.pdf .

func pointOnEllipse(center: CGPoint, a: CGFloat, b: CGFloat, closestTo p: CGPoint) -> CGPoint {

    let maxIterations = 10
    let eps = CGFloat(0.1/max(a, b))

    let p1 = CGPoint(x: p.x - center.x, y: p.y - center.y)

    // Intersection of straight line from origin to p with ellipse
    // as the first approximation:
    var phi = atan2(a * p1.y, b * p1.x)

    // Newton iteration to find solution of
    // f(θ) := (a^2 − b^2) cos(phi) sin(phi) − x a sin(phi) + y b cos(phi) = 0:
    for i in 0..<maxIterations {
        // function value and derivative at phi:
        let (c, s) = (cos(phi), sin(phi))
        let f = (a*a - b*b)*c*s - p1.x*a*s + p1.y*b*c
        let f1 = (a*a - b*b)*(c*c - s*s) - p1.x*a*c - p1.y*b*s

        let delta = f/f1
        phi = phi - delta
        print(i)
        if abs(delta) < eps { break }
    }

    return CGPoint(x: center.x + a * cos(phi), y: center.y + b * sin(phi))
}

您可能需要调整最大迭代次数和epsilon 根据您的需要，但这些价值观对我来说很有效。对于椭圆之外的点，最多需要3次迭代找到一个很好的近似解决方案。

使用它你可以计算距离

let p2 = pointOnEllipse(a: a, b: b, closestTo: p)
let v = CGVector(dx: p.x - p2.x, dy: p.y - p2.y)
let distance = hypot(v.dx, v.dy)

Answer 2

我使用Latex编写了一个解释，因此它可以更具可读性，只是拍摄了一些屏幕截图。我分享的方法是使用基于牛顿步骤的优化方法来解决问题。

请注意，对于主轴和短轴长度之间的比例较小的椭圆的情况，最多只需要几次迭代即可获得非常好的精度。对于较小的比率，你甚至可能只得到初始猜测的结果，这实质上是 Martin R 所显示的。但是如果您的椭圆可以是任何形状，您可能需要添加一些代码来改进近似值。

Answer 3

你有（a，b）的省略号中心和P（Px，Py）的任意点。由这两点定义的线的等式如下：

（Y - Py）/（b - Py）=（X - Px）/（a - Px）

您拥有的另一种形式是椭圆形。您需要找出椭圆上和中心与点之间的线上的（X，Y）点。将有两个这样的点，您需要计算它们与P的距离并选择较小的距离。

Answer 4

创建新的坐标系，将椭圆转换为圆https://math.stackexchange.com/questions/79842/is-an-ellipse-a-circle-transformed-by-a-simple-formula，然后找到点到圆的距离，并转换距离

从点到椭圆的距离

4 个答案: