Question

我被问到这个问题并且已经考虑了一些但是无法解决它。

问题是：

我被要求选择n种彩色铅笔。有k种不同颜色组的铅笔。从每个颜色组中也有无限多的铅笔。我想每个颜色组至少有一支铅笔，但我的选择还有很多可能性。

这组选择有多少种可能性？假设无法区分相同颜色的铅笔，并且铅笔的顺序无关紧要。

Answer 1

想象一下n个插槽，它们之间有n-1个空格。将k-1分隔符放入插槽之间的空间（每个插槽最多1个分隔符）确定有效选择：将第一种颜色放入第一个分隔符之前的所有插槽中，将第二种颜色放入第一个分隔符之后和第二个分隔符之前的插槽中因为每两个分隔符之间至少有一个空格，每种颜色至少会有一支铅笔。

映射是一对一的，因为每个选择也会生成独特的分隔符配置。

将k-1个分隔符放入n-1个空格可以用N（n-1，k-1）方式完成，其中N是牛顿符号，所以答案是N（n-1，k-1）

另一种表达方式，基于djna回答：

修复k个铅笔，每种颜色一个 - 每种颜色至少有一个，所以这些将确保满足这一要求。现在你有剩下的nk选择，你可以在你想要的颜色之间进行分割，这次不必关心挑选每种颜色（这是通过首先选择的k铅笔确保的。）解决方案的数量是你可以分割的方式的数量nk难以区分的铅笔分为k个可区分（*）分区。

如何枚举这个？将k-1笔添加到你的n-k铅笔中，将它们排成一行并从左到右着色，在遇到铅笔后改变颜色。例如，将笔表示为*，将铅笔表示为-，使用三种颜色（红色，绿色，蓝色）：

--**-

代表两支红色铅笔，零绿色和一个蓝色。在这样的表示中，有（nk）+（k-1）= n-1个元素（钢笔和铅笔。）从这些中，您需要选择k-1笔位置（或nk铅笔位置，因为选择一组确定另一种。）你可以做的方法是N（n-1，k-1）。

（*）我认为“2 red，one green”与“2 green，one red”不同，否则是完全不同的任务。

Answer 2

我们假设n> k，否则你无法达到“每种颜色中的至少一种”。

然后你的第一个k选择被完全定义，每种颜色之一。剩下的就是（n-k）铅笔，可以是任何颜色。所以第一个选择k，第二个选择k ......

换句话说：k ^（n -k）