约束下的优化

Question

我有一个关于优化的问题。

我有一个矩阵x，有3列和一定数量的行（最多200行）。每行代表一个候选人。第一列包含分数（在0和1之间），第2列包含候选种类（总共有10种标记为1到10），第3列包含每个候选者的数量。有一点需要考虑：金额可以是负面的

我想要做的是在这些候选者中选择最多35个元素，这些元素将最大化其各自得分（第1列）的函数，其限制条件是每种类型中最多可计算10％以下方式：种类1的百分比：种类1的总和除以所有金额的总和。

最后，我希望有一组最多35个候选人满足约束并优化他们的分数总和。

这是我到目前为止提出的代码，但我正在努力解决10％的限制因为它似乎没有被考虑在内：

rng('default');

clc;
clear;
n = 100;
maxSize =  35;

%%%TOP BASKET
nbCandidates = 100;
score = rand(100,1)/10+0.9;
quantity = rand(100,1)*100000;
type = ceil(rand(100,1)*10)
typeMask = zeros(n,10);

for i=1:10
    typeMask(:,i) = type(:,1) == i;
end

fTop = -score;
intconTop = [1:1:n];

%Write the linear INEQUALITY constraints: 
A = [ones(1,n);bsxfun(@times,typeMask,quantity)'/sum(type.*quantity)];
b = [maxSize;0.1*ones(10,1)];


%Write the linear EQUALITY constraints:
Aeq = [];
beq = [];

%Write the BOUND constraints: 
lb = zeros(n,1);
ub = ones(n,1); % Enforces i1,i2,...in binary

x = intlinprog(fTop,intconTop,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

如果我做错了，我会感激一些建议！

Answer 1

模型的线性程序可能如下所示：

• n是候选人数。
• S[x]是候选人x的得分。
• A[i][x]是种类x的候选i的数量（A [i] [x]可以是正数或负数，就像你说的那样）。
• T[i]是所有候选人i的总金额。
如果要包含元素I[x]，则
• x为1，如果要排除元素x则为0。

您要优化的函数f是S[x]和I[x]的函数。您可以将S和I视为n维向量，因此您要优化的函数就是它们的点积。

f() = DotProduct(I, S)

这相当于线性函数I1 * S1 + I2 * S2 + ... + In * Sn。

我们可以用这种方式表达所有约束，以获得一组线性函数，其系数是n维向量中的组件，我们可以用I点，即要优化的参数。

对于我们最多只能占用35个元素的约束，让C1()成为计算元素总数的函数。 然后第一个约束可以形式化为C1() <= 35，C1()是一个线性函数，可以这样计算：

让j成为n维向量，每个组件等于1：j = <1,1,...,1>。

C1() = DotProduct(I, j)

所以C1() <= 35是线性不等式，相当于：

I1 * 1 + I2 * 1 + ... + In * 1 <= 35 I1 + I2 + ... + In <= 35

我们需要在这里添加一个松弛变量x1以将其转换为等价关系：

I1 + I2 + ... + In + x1 = 35

对于我们每种只能占10％的约束，我们将为每种C2[i]()设置一个函数i（你说总共有10个）。 C2[i]()根据我们选择的学生，计算为i种类的学生数量：

• C21() <= .1 * T1
• C22() <= .1 * T2
• ...
• C210() <= .1 * T10

我们像这样计算C2[i]()： 设k为n维度向量等于<A[i]1, A[i]2, ..., A[i]n>，每个组件是种类i的每个候选者的数量。 然后DotProduct(I, k) = I1 * A[i]1 + I2 * A[i]2 + ... + In * A[i]n，是我们对i给出的I的总量，C2[i]() = DotProduct(I, k)是一个捕获我们所包含的元素的向量。

所以C2[i]()

现在我们知道如何计算C2[i]() + x[i + 1] = .1 * T[i]，我们需要添加一个松弛变量来将其转换为相等关系：

x

此处[i + 1]的下标为x1，因为x1, x2, ..., x11已用作上一个约束的松弛变量。

总之，线性程序看起来像这样（为每个不等式约束添加11个松弛变量Let: V = <I1, I2, ..., In, x1, x2, ..., x11> (variables) |S1| |S2| |. | |. | |. | P = |Sn| (parameters of objective function) |0 | |0 | |. | |. | |. | |0 | |35 | |.1*T1 | C = |.1*T2 | (right-hand sides of constraining equality relations) |... | |.1*T10| |1 |1 |...|1 |1|0|...|0| |A1,1 |A1,2 |...|A1,n |0|1|...|0| CP = |A2,1 |A2,2 |...|A2,n |0|0|...|0| (parameters of constraint functions) |... |... |...|... |0|0|...|0| |A10,1|A10,2|...|A10,n|0|0|...|1| Maximize: V x P Subject to: CP x Transpose(V) = C ）：

{{1}}

希望这很清楚，抱歉可怕的格式化。

Answer 2

我相信MIP模型看起来像：

此处i是数据点，j表示类型。为简单起见，我假设每个类型都有相同数量的数据点（即Amount(i,j)，Score(i,j)是矩阵）。通过限制求和很容易处理更不规则的情况。

10％规则仅适用于金额总和。我希望这是正确的解释。如果我们有负数，不确定这是否属实。