如何将曲线下的面积划分为相等的段

Question

我试图将表格式给出的曲线下的区域划分为相等的区域段。我必须解决以下积分并找到一组点x_0,x_1,...,x_k,x_N，其中包含以下内容

不幸的是，我真的不知道如何为表格功能做到这一点。对于解析线性或二次函数，上述结果解决了x_k的二次或三次方程。 我试图迭代x_k的值，直到积分小于k/N。我从第一个固定值x_0开始，尝试找到积分为k/N的x_1，然后使用x_1作为新的下限，并查找具有相同属性的x_2。 我认为存在一种更有效的方法，这就是为什么我决定在这里问专家。 我很感激你的想法。

Answer 1

没有更多关于函数f（x）的知识，没有希望得到准确的正确答案。但是，我们可以使用f（x）的合理近似值并使用它，因此我们的答案也是合理的近似值。

积分中使用的一个常见近似是梯形规则，其中我们假设函数在x_i的连续值之间是线性的，因此这些值之间的区域是梯形并且易于计算。所以让我们对f（x）做出相同的近似。假设给定的点是（x [i]，f（x [i]）），我们正在寻找x坐标z [i]。

然后算法（伪代码）：

Sort the values (x[i], f(x[i])) by the first coordinate
if any of the neighboring x[i] are equal but the corresponding f(x[i]) are not:
    raise an error
Sum the trapezoidal areas to get the total area
Find the desired area between x-coordinates
Run through the x[i] and sum individual trapezoid areas
    When the summed area are greater than the desired area,
        Use interpolation to find z[i] between the x[i] that give the desired area

这应该足够清楚了。插值将是二次插值，应该足够简单。

Answer 2

根据您的评论， f 被认为是非负的。此外，你给出的例子有连续的二阶导数。

假设您首先在 n 点（ n 稍后确定）上列出您的函数， g 是积分的累积近似值根据{{​​3}}的 f 。由于 f 是非负的，因此 g 是单调非递减的。因此，您可以通过trapezoidal rule找到最接近 g _max / k 值的 x 点，其复杂度为Θ（的log（n））。事实上，你可以这样做 k 次。

请注意，您所需的近似值是 g ，而不是 x 。但是，使 n 足够大，确保 x 的良好近似也是 g 的良好近似。要确定 n ，您可以使用binary search。