如何将椭圆划分为相等的段？

Question

这计算椭圆上的顶点坐标：

function calculateEllipse(a, b, angle) 
{
    var alpha = angle * (Math.PI / 180) ;
    var sinalpha = Math.sin(alpha);
    var cosalpha = Math.cos(alpha);

    var X = a * cosalpha - b * sinalpha;
    var Y = a * cosalpha + b * sinalpha;
}

但是如何计算“角度”以获得相等或大致相等的圆周段？

Answer 1

所以从Jozi在OP的评论中所说的，所需要的不是如何将椭圆细分为相等的段（这需要一大堆可怕的积分），而是从大致相等长度的线段构造一个椭圆

There are a whole pile of ways to do that，但我认为最适合OP目的的是同心圆方法，在页面上列为“选秀方法”。如果你不介意安装Mathematica播放器，那就是一个整洁的小应用here，它以交互方式说明它。

这些方法的问题在于，在低偏心率下，段长度仅大致相等。如果你处理的是极端怪癖，事情会变得复杂得多。我能想到的最简单的解决方案是线性逼近每个象限内线段的长度，然后精确求解该象限中端点的位置。

详细说明：这是一个参数为a = 5, b = 1的椭圆象限：

这是length of the arc subtended by an infinitesimal change in the angle在每个角度的情节：

x 轴是以弧度表示的角度， y 轴是由1弧度角度变化所对应的弧的长度。该公式可以使用我刚刚链接的维基百科文章中的公式导出，y = Sqrt(a^2 Sin^2(x) + b^2 Cos^2(x))。值得注意的是，该函数的积分 - 该曲线下的面积 - 是整个象限中弧的长度。

现在，我们可以用直线近似它：

其中包含渐变m = (a-b) / (Pi/2)和 y 拦截c = b。使用简单几何，我们可以推断出红色曲线下面的区域是A = (a+b)*Pi/4。

利用这些知识，以及曲线下面积是曲线总长度的知识，构造椭圆近似的问题减少到发现说midpoint-rule quadrature（其他正方形也会起作用，但这是最简单的红线，每个矩形的面积相等。

将该句子转换为等式，并用左手边界x及其宽度w表示矩形的正交位置，我们得到：

(v*m)*w^2 + (m*x+c)*w - A/k == 0

其中k是我们想要用来近似象限的片段数，而v是一个加权函数，我将很快介绍。这可用于通过首先设置x0 = 0并求解w0来构建正交，然后将其用于设置x1 = w0并求解w1。然后设置x2 = w1等等，直到你得到所有k左手边界点。第k+1个边界点显然是Pi/2。

加权函数v有效地表示矩形穿过红线的位置。一个常数v = 0.5相当于它在中间交叉，并以10分得到你：

但你可以玩它来看看有什么更好的平衡点。理想情况下，它应该保持在[0, 1]范围内，并且您使用的值的总和应为k/2。

如果你想要一个更好的近似而不用弄乱加权函数，你可以尝试对线进行最小二乘拟合，而不是仅仅将它拟合到端点，或者你可以尝试将三次多项式拟合到蓝色曲线而不是线性多项式。这将需要解决四分法，但如果你手头有一个数学包，那应该不是问题。

Answer 2

评论太长了，所以我想这必须是一个答案......

这是一种形成一阶近似的数学上简单的方法。选择一个象限。您可以通过X和Y轴上的反射生成其他象限的数据。计算（x，y）角度= 0度，1度，... 90度。现在你想要连续点的小长度。如果（x_n，y_n）是角度= n处的坐标，那么毕达哥拉斯告诉我们点（x_n，y_n）和（x_n + 1，y_n + 1）之间的距离D是D = sqrt（（x_n + 1 - x_n） ^ 2 +（y_n + 1-y_n）^ 2）。使用此公式可生成椭圆周围累积距离的表格，范围为0度到90度。这与您寻求的功能相反。当然，您不必选择1度的步长;你可以使用任何精确分为90度的角度。

如果要查找与周长步长x对应的角度，请在表格中找到最大角度n，使部分周长小于或等于x。角度n + 1的部分周长将大于x。使用线性插值来查找对应于x的小数角度。

我们所做的只是用直线段逼近椭圆并使用它们代替原始曲线;它是一阶近似。使用Simpson规则或类似规则而不是线性插值可以做得更好。

是的，您必须提前计算表格。但是一旦你有了表格，计算就很容易了。如果你不需要太多精确度，这在数学和编码方面都非常简单。