为什么数字pi的有限前缀的语言可由TM决定，而对于任何实数来说，确定该给定数字的有限前缀的TM是错误的？
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为什么数字pi的有限前缀的语言可由TM
决定
有一种有效的计算程序可以打印出pi数字的有限前缀。 sin（x）的Maclaurin系列是x - x ^ 3/3！ + x ^ 5/5！ - ...此外，我们知道sin（pi / 2）= 1，所以我们可以设置1 = x - x ^ 3/3！ + x ^ 5/5！ - ...，从某个地方开始（比如x = 1.5）并找到比其前身增加的x的最大值。然后，将其乘以2并保留前n个数字以获得长度为n的前缀。例如：
f(1.50) < f(1.51) < f(1.52) < f(1.53) < f(1.54) < f(1.55) < f(1.56) < f(1.57)
f(1.59) < f(1.58) < f(1.57)
这告诉我们x = 1.57是pi / 2的最接近的值，并且比我们真正需要的要大一点或稍小一些。我们可以通过检查Maclaurin系列得到cos（x）：我们看到cos（1.57）收敛到正数，所以我们知道我们是n个数字小于pi / 2的最大数字。保持计算至少低于你需要的一个级别返回pi的数字，一切都会好起来。
虽然说任何实数的TM都决定了给定数字的有限前缀，这是错误的
这是一个实数：0到1之间的实数，当第n个图灵机（由所有TM的UTM编码的词典排序确定）时，其十进制表示为第n个数字设置为1空语。这是一个明确定义的实数 - 每个十进制数字都是0或1 - 然而如果我们有一个TM可以找到这个实数的任何有限前缀，我们可以回答这个问题“这TM是否接受空语言？”对于任何TM：
这是一个矛盾，因为TM是否接受空语是不可判定的。因此，我们假设我们可以计算这个实数的有限前缀是不正确的。
对于涉及TM的任何不可判定的问题（莱斯定理和对角化论证保证TM的UTM编码的大多数语言都是），你得到一个无法计算的唯一实数。实际上，可计算的实数是可数的，就像图灵机一样，但与语言和实数不同，这是不可数的。