检测有向图中的循环

Question

我读了一篇关于在有向图中找到一个循环的讨论here。现在，OP声称我们需要验证两个的东西：

1. 从u到v
有一个后沿
2. v在递归堆栈中

为什么我们需要第二次测试？你能举例说明它的必要性吗？

Answer 1

只有我们已经访问v的事实是不够的。它允许我们从u转到v，但不能从v转到u。

简单的图形反例：

数字是遍历顺序。我们有4到3的后沿，但我们没有任何周期。

Answer 2

好吧，你可能会对有向图中后沿的定义和无向图中的后沿感到困惑。是的，他们是不同的。

在无向图中，后边是从当前顶点到已经访问过的顶点的边。 （作为你提到的链接的OP） 在有向图中，后边缘的定义是不同的。有向图中的后沿是从当前顶点到GRAY顶点的边（该顶点的DFS已经开始但尚未完成），这意味着它仍然在递归堆栈中。

因此，如果您在有向图中采用后边缘的定义，那么是的，它足以检测周期。
但是如果你在后向边缘中定义后边缘，那么你还需要确保v在递归堆栈中以便检测一个循环。

有关详细信息和示例，请参阅this和this。

示例：
将DFS访问顺序视为A -> B -> C 在此示例中，边<A,C>是已显示图中的后边缘（因为C已被访问过）。
但它不是这个有向图中的后沿 - 已经访问过C但不在递归堆栈中，这意味着它不是一个循环。

Answer 3

当它是交叉边而不是后边缘时，需要进行第二次测试。交叉边缘指的是从一个顶点到已经访问过的一个边缘的边缘，而与位置无关。 后边缘指的是指向起始顶点的祖先的边，一个仍然在递归堆栈中的边。就问题的提问方式而言，OP将后边缘称为指向另一个已访问边缘的边缘，但更准确的解释是交叉边缘。知道它是一个后沿是足够的，因为它意味着第二步。当第一个是交叉边缘时需要这些步骤，因为第二个证明交叉边缘是后边缘。在有向图中，交叉边缘并不总是意味着发生了循环。这是一个例子：

vertices a,b,c,d
a->b
a->c
b->d
d->c

根据处理此顺序，d->c可视为交叉边缘，因此检测循环需要步骤2。不幸的是，后边缘和交叉边缘经常混淆，造成这样的混乱。下面是另一个关于两者之间差异的描述的链接，Depth-First Search。