Question

Theorem nzgtz : ~ 0 > 0.
Proof.
unfold not.
unfold gt.
unfold lt.
intros H.
inversion H.
Qed.

Print nzgtz.

Definition pred1 (n : nat) : n > 0 -> nat :=
  match n with
 | O => fun pf => match (nzgtz pf) with end
 | S n' => fun _ => n'
 end.

我对O的第一个分支如何返回类型为(0 > 0) -> nat的函数感到困惑。问题是：match False with end nat怎么样？似乎没有返回任何价值？！那个表达是什么意思？

Answer 1

我不是专家。但从功能的角度来看，pred1的返回值是函数返回 nat，不 a nat。对于任何输入n，结果函数会将pf的证明n > 0转换为nat。

函数不需要（或不能）返回不存在的参数上的任何值。在极端情况下，当函数的域为空时，codomain也是（或者可以看作）为空。

这就是为什么当pf在False（这是一个空类型）时，该函数不能返回任何特定的nat值，并且它必须不返回任何内容

从语法上讲，如果您将该函数的简化版本与nat到nat的简化版本进行比较：

Definition p : False -> nat :=
 fun pf => match pf with end.

Definition p1 : nat -> nat :=
 fun pf => match pf with 
   | 0 => 0
   | S p => p
end.

与pf中的两个分支/构造函数相比，False中p的证明match with没有构造函数（0个分支）到p1

出于类似的原因，您可以使用False的证明（空白）来证明任何事情。

Answer 2

match X with end旨在排除不可能的案例。实际上，读取pred1函数的零分支的典型方法是＆＃34;这种情况是不可能的＆＃34;。

因此，一个不可能的案例并不需要返回值。

p.s：请注意，我无法设想pred1有用的风景。

Coq nat类型检查匹配

2 个答案: