我正在寻找有关nat类型的引理

Question

我正在寻找有关nat的引理。我希望它已经存在于Coq库之一中，所以我不必证明它。

forall m n : nat, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat

请将我指向图书馆（如果存在）。谢谢！

Answer 1

该陈述不成立：用m = 0代替，结论变成n < n，这是一个明显的矛盾。

Answer 2

You are almost looking for Nat.sub_lt. I recommend using the Search command to find lemmas. It's quite powerful.

Require Import Arith.
Goal forall m n, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat.
  intros.
  Search (_ - _ < _).
  apply Nat.sub_lt.
  Search (_ < _ -> _ <= _).
  apply Nat.lt_le_incl, H.
  Search (0 < S _).
  apply Nat.lt_0_succ.
Qed.

or auto using Nat.sub_lt, Nat.lt_le_incl, Nat.lt_0_succ. or auto with arith.

Answer 3

据我所知，没有Coq库可以证明您的陈述。因此，您可以提出自己的证明，如下：

Require Import PeanoNat List.
Import Nat.

Goal(forall m n : nat, (S m < n)%nat -> (n - (S m) < n)%nat).
Proof.
induction m.
destruct n.
intros.
inversion H.
intros. simpl.
rewrite Nat.sub_0_r.
apply lt_succ_diag_r.
intros.
intuition.
Qed.