Question

在下面的C ++函数中，设n> = m。

int gcd(int n, int m) {
            if (n%m ==0) return m;
            if (n < m) swap(n, m);
            while (m > 0) {
                n = n%m;
                swap(n, m);
            }
            return n;
    }

假设n> 1，上述函数的时间复杂度是多少？ M＆对这个问题的回答是O（log n），但我没有得到如何计算？

Answer 1

在每次迭代中，n的值平均降低黄金比例。我建议尝试解决最坏的情况，它应该是n

的基数1.618

有关详细信息https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm，其中注意到“如果欧几里德算法需要N个步骤来表示一对自然数a> b> 0，那么a和b的最小值是斐波那契数字分别为F（N + 2）和F（N + 1）。“

e.g。如果从Fib（n + 2）和Fib（n + 1）开始，则在下一次迭代时将得到Fib（n）和Fib（n + 1），直到你停在1。

Answer 2

首先考虑while循环的这两种可能性：

在下面给出的循环中，此循环的复杂性为O(n) 因为算法与输入n成比例增长：
```
while (n > 0) {
    n = n-1;
    ...
}
```
然而在下面给出的循环中，因为有一个嵌套循环，所以时间是O(n^2)。
```
while(n>0) {
    n = n-1;
    while(m>0) {
        m = m-1;
        ...
    }
}
```
但是，在您提供的算法中，您不是遍历每个m或n的循环;相反，你很简单使用分而治之的方法，你只是探索部分循环中的整个n。在每次迭代中，n的值并不是只减少1因子，而是减少比例：
```
while (m > 0) {
    n = n%m;
    swap(n, m);
}
```

以下功能的时间复杂度

2 个答案: