如果子问题没有重叠，DP如何帮助[0/1背包]

Question

考虑下面针对典型背包问题的输入。

V = [10,8,12]
W = [2,3,7]
i =  1,2,3
C = 10

我尝试使用memoization进行递归来解决此示例但发现没有重叠的子问题。

递归程序的签名：

knapsack(int c, int i) 

最初称为knapsack(10,1)

解决方案的方法与https://www.youtube.com/watch?v=6h6Fi6AQiRM和https://www.youtube.com/watch?v=ocZMDMZwhCY中解释的相同。

动态编程如何帮助减少这些背包样本的时间复杂度？如果它无助于提高此案例的时间复杂度，那么DP解决方案的最坏情况复杂性也与基于跟踪搜索，即2，功率n [忽略修剪，好像修剪应用，然后复杂性将减少解决方案，再次DP将不会优于非记忆递归解决方案]

**上面的示例中是否真的缺少子问题，或者我遗漏了什么？**

Answer 1

DP对您的特定问题实例上的所有都没有帮助。但总的来说，即在所有可能的输入实例上，它永远不会解决更多子问题而不是纯递归，并且在许多情况下它解决的问题要少得多。 那是为什么DP很好。

你所有的DP配方保证是它可以通过解决最多n(c+1)个子问题来解决任何问题的实例，事实上它也适用于你的例子：{{1} } = 3和n = 10，它通过解决14＆lt; = 33子问题（包括原始问题）来解决问题。

类似地，纯递归解决方案保证它可以通过解决最多c个子问题来解决任何问题的实例。

您似乎认为DP算法应该比递归算法更快地解决每个问题实例，但事实并非如此，并且没有人提出这种说法。存在没有重叠子问题的实例（如您的实例），对于这些实例，DP使用与递归解决方案完全相同数量的子问题来解决问题。这并没有说明两种算法的行为。通常，DP解决每个问题最多使用与递归解决方案一样多的子问题，有时甚至更少 - 因为存在问题实例，递归算法需要多次解决相同的子问题。

简而言之：DP永远不会比递归更糟糕，并且比最坏情况下的递归更好。这不意味着它在每个实例上都更好。

Answer 2

0/1背包问题有一个pseudo-polynomial-time solution。该解决方案的运行时间为 O（nW），其中n是可供选择的项目数，W是背包可以容纳的权重。运行时间被描述为 伪 多项式，因为W不是n的函数。

或者是吗？给定n个项目列表（按重量和值），一个项目存在最大权重，称之为k。 （最大权重可以在 O（n）时间内确定。）如果W大于或等于kn，则问题很简单，所有项目都适合在背包里。因此，我们只需要考虑W < kn的情况。因此，出于复杂性分析的目的，W 可以表示为n的函数。

鉴于nW <= k n^2，算法的运行时间为 O（k n ^ 2）。

现在，观众中的学生将（正确地）认为这仍然是伪多项式时间，因为k和n之间没有明确的关系。但是问题的任何具体陈述（按权重和值列出项目）必须在问题陈述本身中具有k的显式常量值。

足够理论。我们如何将此应用于问题中的示例。

• n显然是3
• k显然是7

因此，预测的运行时间是 O（kn ^ 2） = O（7x3x3） = 63.但是预测的指数运行时间（没有DP）是< em> O（2 ^ n） = O（2 ^ 3） = 8。

你的例子存在问题。 Big-O分析描述了大n值的算法的渐近行为。它告诉你关于n的小值的性能几乎没有。如果n的值足够小2^n < k n^2，则不会期望DP会改善算法的运行时间，或者根本不会产生任何影响。

您面临的挑战是找到2^n > k n^2的示例，并且您仍然没有重叠的子问题。

Answer 3

如果没有任何权重加到任何其他权重并且容量足够大以包括总权重，则带有memoization解决方案的递归的运行时间可以接近2^n。

动态编程解决方案虽然是O(c*n)。这是多项式的容量而不是项目数。

在您的示例n=3和c=10中，2^n = 8和c*n = 30。此处c*n大于2^n，因此dp解决方案没有帮助。如果你有更多的项目和一个小容量，那么dp解决方案会更好。这些是dp解决方案可以很好地工作的约束种类。