如何证明sigma（i / 2 ^ i）＆lt; = 2（i = 1到n）

Question

如何证明以下不平等：

sigma(i/2^i)<=2 (i=1 to n)

Answer 1

如果我们查看系列，那么它看起来像：
我们认为n =无穷大是和的最大值 S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +.... + 0 - （1）
显然，
S/2 = 1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + ---- + 0 - （2）

从（2）中减去（1）得到：
S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +... + 0
在此a = 1/2和r = 1/2中，此无限gp的总和为a/(1-r) = 1/2/(1-1/2) = 1

因此S / 2的最大值为1
那么 S的最大值是2 或S <= 2

Answer 2

a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ...的总和由/（1-r）给出。如果只存在有限数量的项，则存在非负余数，即，总和将是[a /（1-r）] - R.插入a和r的值，我得到2 - R.似乎这一直是＆lt; = 2. QED