Question

我正在尝试计算以下内容：

f(n) = ∑ (i*log(i))  , when i=1 to log(n) .

我该怎么做？

我成功了：

f(n) = ∑ (i*log(i))  , when i=1 to n .

这是：1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n) <= n(n*log(n))

最后的位置：f(n) = ∑ (i*log(i)) = Ω(n^2 log^2(n) )（Where i=1 to n）

但是我不知道如何做第一个，任何想法？

此致

Answer 1

首先，您必须从当前结果中的^2中删除log^2(n)

f(n) = ∑ (i*log(i)) <= n(n*log(n)) = Ω(n^2*log(n))

然后，对于i从1转到log(n)的情况，只需将n替换为log(n)。

让我们来定义

g(n) = ∑ (i*log(i)), when i=1 to log(n) // The result you are looking for
f(n) = ∑ (i*log(i)), when i=1 to n // The result we have

然后

g(n) = f(log(n)) = Ω(log(n)^2*log(log(n)))

Answer 2

f（n）= Theta（log ²（n）* log（log（n））

证明：

f(n) = 1 * log(1) + 2 * log(2) + ... + log(n) * log(log(n)) <= 
<= log(n)*log(log(n)) * log(n) =
= O(log^2(n) * loglog(n))

f(n) = 1 * log(1) + 2 * log(2) + ... + log(n) * log(log(n)) >= 
>= log(n/2) * log(log(n/2)) + log(n/2 + 1) * log(log(n/2 + 1) + ... + log(n) * log(log(n)) >= 
>= log(n/2) * log(log(n/2)) + ... + log(n/2) * log(log(n/2)) = 
= log(n/2) * log(log(n/2)) * log(n/2)
= log^2(n/2)*log(log(n/2)) = log^2(n/2)*log(log(n)-log(2)) = 
= Omega(log^2(n)*loglog(n))

Answer 3

如果您了解某些微积分，您通常可以通过积分找到此类总和的增长顺序。

如果f是正单调函数，则∑ f(i)的{{1}}可以用积分1 <= i <= k（∫ f(t) dt近似，范围从1到{{1} }}）。因此，如果您知道t的原始函数k（在现代用语中是 antiderivative ），您可以轻松地评估F的积分。对于增长分析，常数项f无关紧要，因此您只需F(k) - F(1)即可近似求和（以及积分）。

在此类计算中经常使用的工具是部分集成，

F(1)

遵循产品规则 F(k)。将b b ∫ f'(t)*g(t) dt = f(b)*g(b) - f(a)*g(a) - ∫ f(t)*g'(t) dt a a写为(f*g)' = f' * g + f * g'以便应用部分积分通常很有帮助，例如找到（自然）对数的原语，

在这种情况下，使用1*f，部分积分产生

∫ log t dt = ∫ 1*log t dt = t*log t - ∫ t * (log t)' dt = t*log t - ∫ t*(1/t) dt = t*log t - t

由于第二个词比第一个词增长慢，因此可以忽略增长分析，所以你得到

f(t) = t*log t

由于不同基数的对数仅因常数因子而不同，因此不同的对数选择只会改变常数因子，您可以在所有情况下看到

∫ t*log t dt = 1/2*t^2 * log t - ∫ (1/2*t^2) * (log t)' dt
             = 1/2*t^2 * log t - 1/2 ∫ t^2*(1/t) dt 
             = 1/2*t^2 * log t - 1/4*t^2

针对您的具体问题k ∑ i*log i ≈ 1/2*k^2*log k 1，所以总和为k ∑ i*log i ∈ Θ(k^2 * log k) 1，这是由其他答案以不同方式得出的。

Answer 4

http://img196.imageshack.us/img196/7012/5f1ff74e3e6e4a72bbd5483.png 现在为logn替换n，你会得到它非常严格地受log ^ 2（n）* log（log（n））

的限制

f（n）= I * Log（I）的Sigma，其中I = 1到Log（n），等于什么？

4 个答案: