在1-DOF质量弹簧系统中实现半隐式后向欧拉

Question

我有一个简单的（质量）弹簧系统，有两个与弹簧相连的点。一个点固定在天花板上，所以我想用数值方法计算第二个点的位置。所以，基本上我得到第二个点的位置和它的速度，并且想要知道这两个值在一次步骤之后如何更新。

以下力量对该点产生影响：

• 引力，由-g * m
给出
• 弹簧力，由k * (l - L)给出，其中k为刚度，l为当前长度，L为初始长度
• 阻尼力，由-d * v
给出

总结一下，这导致了

• F = -g * m + k * (l - L)
• Fd = -d * v

申请示例显式欧拉，可以推导出以下内容：

• newPos = oldPos + dt * oldVelocity
• newVelocity = oldVelocity + dt * (F + Fd) / m，使用F = m * a。

但是，我现在想要使用半隐式后向欧拉，但无法准确地找出从哪里派生雅可比人。

Answer 1

因此，首先考虑完全隐式方法，然后转向半隐式方法，这可能是最简单的。

隐含的欧拉会（让我们称之为eqn（1））：

newPos = oldPos + dt * newVelocity
newVelocity = oldVelocity + dt * (-g * m + k*(newPos - L) - d*newVelocity)/m

现在让我们只测量相对于L的位置，这样我们就可以摆脱-kL术语。重新安排我们最终

(newPos, newVelocity) - dt * (newVelocity, k/m newPos - d/m newVelocity) = (oldPos, oldVelocity - g*dt)

并将其置于矩阵形式

((1,-dt),(k/m, 1 - d/m)).(newPos, newVelocity) = (oldPos, oldVelocity -g*dt)

如果您了解矩阵中的所有内容以及RHS上的所有内容，您只需要求解向量（newPos，newVelocity）。您可以使用任何Ax = b求解器执行此操作（在这种简单情况下，手动高斯消除）。但是既然你提到了雅可比人，那么你可能希望通过Newton-Raphson迭代或类似方法来解决这个问题。

在这种情况下，你基本上是要解决等式的零点

((1,-dt),(k/m, 1-d/m)).(newPos, newVelocity) - (oldPos, oldVelocity -g*dt) = 0

也就是说，f（newPos，newVelocity）=（0,0）。您有一个先前的值用作起始猜测（oldPos，oldVelocity）。现在你只想迭代

（x，v） ^{n + 1} =（x，v） ⁿ + f（（x，v） ⁿ ）/ f'（（x，v） ⁿ ）

直到你得到足够好的答案。这里，

f(newPos,newVel) = ((1,-dt),(k/m, 1-d/m)).(newPos, newVelocity) - (oldPos, oldVelocity -g*dt)

和f'（newPos，newVel）是对应矩阵的雅可比行列式

((1,-dt),(k/m, 1-d/m))

通过半隐式的过程是相同的，但更容易一点 - 并非eqns（1）中的所有RHS术语都是新的数量。它通常采用的方式是

newPos = oldPos + dt * newVelocity
newVelocity = oldVelocity + dt * (-g * m + k*oldPos - d*newVelocity)/m

例如，速度取决于位置的旧时间值，以及速度的新时间值上的位置。 （这与“越级”整合非常相似。）你应该能够通过这个稍微不同的方程组很容易地完成上述步骤。基本上，上面矩阵中的k / m项就会消失。