Question

这个循环的复杂性是什么

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    for (int j = 0; j < log(i); j++)
    {
        // do something
    }
}

根据我的说法，内循环将运行log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n)次，所以我如何计算其复杂性？

Answer 1

如果不以正式方式执行此操作，可以使用积分“猜测”这种复杂性计算。被积函数是do_something的复杂度，假定为O(1)，并且与log N的区间相结合，然后内圈的变为log N。结合外循环，总体复杂度为O(N log N)。所以在线性和二次之间。

注意：这假设“做某事”是O(1)（就N而言，它当然可能是一个非常高的常数。）

Answer 2

所以，你有一笔钱log(1) + log(2) + log(3) + ... + log(n) = log(n!)。使用Stirling's approximation以及ln(x) = log(x) / log(e)可以获得的事实

log(n!) = log(e) * ln(n!) = log(e) (n ln(n) - n + O(ln(n)))

给出与其他答案相同的复杂度O(n ln(n))（稍微更好地理解所涉及的常量）。

Answer 3

让我们从log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n)开始。该总和的大约一半元素大于或等于log(n/2) = log(n) - log(2)。因此，这个总和的下限是n / 2 * (log(n) - log(2)) = Omega(nlog(n))。要获得上限，只需将n乘以log(n)的最大元素，即O(nlog(n))。

登录循环的时间复杂度

3 个答案: