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Question

我正在尝试构建一个系统，我需要找到一组线性方程的解决方案，其中包含比方程更多的变量。

问题可归结为以下几点：

想象一组方程式：

var filter = GPUImageFilter.FromFragmentShaderString(fragShaderString);

如何为此系统找到一个或多个（正）整数解？

注意：我一直在查看apache-commons-math库，但是我找不到任何关于如何解决/找到带有自由变量的系统解决方案的指示。

Answer 1

请遵循以下示例：假设公式为：

7 = x + 3y + 4z + 9w
12 = 4x + 2y + 3z + 7w

有2个方程和4个未知数。您可以将2个未知数设置为参数，因此系统将具有与未知数一样多的方程：

7 - (4z + 9w) = x + 3y
12 - (3z + 7w) = 4x + 2y

我们将使用x和y作为未知数。可以解决它并将w和z作为线性解决方案中的参数：

x = (22 - 3w - z)/10
y = (16 - 29w - 13z)/10

现在，你需要将分子除以10，即分母。如果有解决方案，您可以测试从1到10的所有参数。

一般来说，你这样做：

选择参数，以便存在与方程式一样多的未知数。尝试留下为行列式产生最小绝对值的未知数（在示例中，它是10，但选择y和z会更好，因为它将是| det | = 3）
解决线性系统并根据参数生成答案
测试参数的值从1到det的绝对值（如果有解决方案，你会在此时找到它），直到所有未知数都有一个整数解（这就是你选择的原因）前面的最小行列式绝对值）并检查它是否为正（这在示例中没有说明）。

很抱歉，如果在最后一步中是暴力，但至少有可能最小化测试范围。也许，可能有更好的方法来解决最后的丢番图方程组，但我不知道任何方法。

EDIT1

有一种方法可以避免暴力逼迫最后一部分。同样，在示例中，您必须：

22 = 3w + z (congruent, mod 10)
16 = 29w + 13z (congruent, mod 10)

应用模数：

2 = 3w + z (congruent, mod 10)
6 = 9w + 3z (congruent, mod 10)

你可以使同余系统成为三角形（高斯消元），将同余乘以模数10中的倒数，并将其与其他的相加。模数10中9的倒数是-1，所以我们乘以最后的同余：

2 = 3w + z (congruent, mod 10)
-6 = -9w + -3z (congruent, mod 10)

相当于：

2 = 3w + z (congruent, mod 10)
4 = w + 7z (congruent, mod 10)

然后，乘以-3并加到第一个：

2 - 3*4 = 3w + z -3w - 21z (congruent, mod 10)
4 = w + 7z (congruent, mod 10)

相当于：

-10 = -20z (congruent, mod 10)
4 = w + 7z (congruent, mod 10)

然后，你从上到下解决（对于任何z值，这个例子似乎都是正确的）。如果参数多于同余，则可以有一定程度的自由，但它们是等价的，您可以将多余参数设置为任何值，最好是最小值为1.

让我知道是否还有不清楚的事情！

Answer 2

我会尝试以下方法（注意我从来没有处理过这个问题，所以把这个答案作为尝试解决问题而不是真正的分析答案）。

您只需找到与常规系统相同的解决方案，因此您可能会找到很多解决方案：

示例：

y = x + 3

那么实数对（2,5）是该系统的一种可能的真正解决方案，一旦你拥有无限多的解决方案，你就可以限制由整数组成的解决方案的子集。

当然你有约束，在我们的例子中，解决方案只有一个自由变量，所以我们可以编写所有类似的解决方案：

(x, x+3)

惊喜：

如果某处有无理数，则没有整数解决方案：

(x, x+pi) => neither 1st or 2nd number here can be whole at same time

因此，当且仅当您的“无限多个解决方案”受到整数或有理数的约束时，您才可能找到整数解。

假设您有以下向量：

( 3x, (2/5)y, y, x, x+y)

然后整个解决方案可以是：

x=3 y=10/2

如果您认为答案不能令您满意，请告诉我：我会删除它以获得赏金点数

Answer 3

您可能希望了解Z3之类的约束求解器。还有JavaExample。

可以找到一个有用的教程，解释Z3的一些强大功能here。

编辑：另请查看Algorithm for solving systems of linear inequalities

Answer 4

如果我正确理解了问题，那么您有多个包，每个包都有不同的邮资费用。您想从您可用的邮票池中支付这些邮资费用。可以用整数编程来解决问题。下面的解决方案一次解决所有包。你将有许多变量等于numPackages * numStampDenominations（对于大量的包可能不方便）。

等式约束看起来像Aeq x = beq。具有4个印章面额（numVars numPackages）的两个包的矩阵Aeq看起来像：

.21 .68 .47 .01 .00 .00 .00 .00           .89
                                   * x = 
.00 .00 .00 .00 .21 .68 .47 .01           .50

第一行是包1的约束系数（标记值）。非零系数是标记值。与其他包相关的零系数变量并不关心。

第二组约束（不平等）处理我可用的邮票库。不等式约束看起来像A * x = b。 4个邮票面额的矩阵A和8个变量（numPackages * numStampDenominations）如下所示：

1 0 0 0 1 0 0 0         10

0 1 0 0 0 1 0 0         10
                 * x <=  
0 0 1 0 0 0 1 0         10

0 0 0 1 0 0 0 1         20

成本函数是f＆＃39; * x，它只是邮票的总数。它的系数只是列向量的形式。

以下是在matlab中运行的脚本，它以所述方式解决问题。它可能会在八度音阶中表达相同，这是一个类似于matlab的GNU产品。 Matlab或八度音程可能不是适合您的解决方案，但它们至少会告诉您哪些方法有效，并为您提供一个沙箱来制定解决方案。

% The value of each stamp available as a 4x1 matrix
sv = [.21; .68; .47; .01];
% The number of each stamp available as a 4x1 matrix
sq = [10;10;10;40];
% Number of demominations
m = size(sv, 1);
% The postage required for each package as a 4x1 matrix
% -- probably read from a file
postage = [.89;.50;1.01;.47;.47];
% Number of packages -- just a count of the postage rows
packageCount = size(postage, 1);
% Number of variables is m*packageCount
numVar = m*packageCount;
% lower bound -- zero stamps of a given denomination
lb = zeros(numVar,1);
% upper bound -- use constraints for upper bound
ub = [];
% The cost function -- minimize the number of stamps used
% min(f'*x) 
f = ones(numVar,1);
% integer constraints
intcon = 1:numVar;
% Construct postage constraint matrix
Aeq = zeros(numVar, packageCount);

for i = 1:packageCount
    first = i*m - 3;
    last = first + 3;
    Aeq(first:last,i) = sv(:);
end

% Construct stamp count constraint matrix
A = zeros(numVar, m);

for r = 1:m
    for j = 1:m
        c = (j-1)*m + 1;
        A(c,r) = 1;
    end
end

x = intlinprog(f, intcon, A', b, Aeq', beq, lb, ub)

找到一组方程的整数解，其中包含比方程更多的未知数

4 个答案:

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