vpasolve未知数多于方程=>没有解

Question

我有3个方程和4个未知数要解决。当然有解决方案，但是vpasolve不返回任何解决方案，如果我下降到3 eq和3未知数，它会很好。我知道随着未知数的增加，我有无数种解决方案，那么在那种情况下我该如何解决呢？

这是我的代码：

syms x y z theta1 theta2 theta3 phi1

xEquation = x == cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1)
yEquation = y == cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1)
zEquation = z == sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3)

x = 2;
y = 1.5;
z = 0;
sol = vpasolve([eval(xEquation), eval(yEquation), eval(zEquation)], [theta1, theta2, theta3, phi1], [-pi pi; -pi pi; -pi pi; -pi pi;]);

这会产生具有4个字段的sol struct，但是它们是空的，没有解。

Answer 1

求解具有n个未知数的m个方程，例如m<n，这意味着某些变量将是取决于其他变量的参数。

例如

x-3y+z = 2
x-y+5z = 5

假设z为参数
在Matlab中解决此问题的代码是

syms x y z

eq1 = x-3*y+z ==2;
eq2 = x-y+5*z ==5;
sol = solve(eq1, eq2, x, y);
sol.x
sol.y

您会看到z省略了solve表达式，这意味着它将被视为参数
解决方案是

sol.x = 13/2 - 7*z
sol.y = 3/2 - 2*z

• 从解决方案中我们可以看到 x, y and z不是数字 值，所以这就是您不能使用vpasolve 代表Variable-precision arithmetic 。 vpasolve给出一个 数值解的精度
• 此外，由于x, y and z不是数字值，因此您无法预先定义 除非您先修复z

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您可以使用solve来查看解决方案集，这里我将phi1视为参数，因此在solve expression中将其省略

syms x y z theta1 theta2 theta3 phi1

xEquation = 2 == cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1);
yEquation = 1.5 == cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1);
zEquation = 0 == sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3);


sol = solve(xEquation, yEquation, zEquation, theta1, theta2, theta3);

解决方案集

sol.theta1 = [-pi*(2*n - 1); pi*(2*m + 1); pi*k; pi*k]
sol.theta2 = [pi*(2*m + 1);  -pi*(2*n - 1);  -pi*(2*n - 1); z]
sol.theta3 = [pi*k; pi*k; pi*(2*m + 1); pi*(2*m + 1)] 
phi1 is the parameter 

第一个解决方案集

X = [sol.theta1(1); sol.theta2(1); sol.theta3(1); phi1]
X = [-pi*(2*n - 1); pi*(2*m + 1); pi*k; phi1]

根据上述推论，共写出了4套

• z是参数，k, m, n是整数，主要是 用于三角函数的周期性
  

• 如果您在z范围内设置[-pi, pi]，则可以将k, m and n调整为 获取[-pi, pi]范围内的有效解决方案。

如您所见，这是时间计算

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使用fmincon

• 或者，您可以使用 fmincon 解决问题
• 我主要是最小化一个常数函数，fmincon会给出 满足约束条件的解决方案，这里ceq = 0
• 将搜索间隔[-pi pi]转换为lb = -pi并 ub = pi
• 我将初始猜测设置为0

代码如下

t = 0:0.1:1;
x = 1.5 + 0.5 .* cos(8 .* pi .* t);
y = 1.5 + 0.5 .* sin(8 .* pi .* t); 
z = 1 .* t .* ones(size(x));

lb = -pi*ones(1, 4);
ub = -lb;

p0 = zeros(1,4);
sol = cell(1,length(t));

for i = 1:length(t)
    sol{i} = fmincon(@(p)0,p0,[],[],[],[],lb,ub,@(p)nonlincon(x(i),y(i), z(i), p(1), p(2), p(3), p(4)));


end


function [c, ceq] = nonlincon(x,y, z, theta1, theta2, theta3, phi1)

    c = [];
    ceq(1) = cos(theta1)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2)*cos(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*cos(phi1)-x;
    ceq(2) = cos(theta1)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2)*sin(phi1) + cos(theta1 + theta2 + theta3)*sin(phi1)-y;
    ceq(3) = sin(theta1) + sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 + theta2 + theta3)-z;
end

解决方案

t = 0.1为sol{2}时的第二套解决方案

sol{2}.(1) = pheta1
sol{2}.(2) = pheta2
sol{2}.(3) = pheta3
sol{2}.(4) = phi1

您可以遵循相同的逻辑在不同的时间t找到解决方案

  

整个解决方案