Question

我试图找到几个方程的未知数，但是有更多的未知数而不是方程数。代码是这样的：

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 

eqn1 = 0.04*x1 + 0.04*x2 + 0.2*x3 + 0.2*x4 + 2*x5 + 0.2*x6 + 0.2*x7 + 0.04*x8 + 0.04*x9 == 111;
eqn2 = 0.04*x2 + 0.04*x3 + 0.2*x4 + 0.2*x5 + 2*x6 + 0.2*x7 + 0.2*x8 + 0.04*x9 + 0.04*x10 == 73;
eqn3 = 0.04*x3 + 0.04*x4 + 0.2*x5 + 0.2*x6 + 2*x7 + 0.2*x8 + 0.2*x9 + 0.04*x10 + 0.04*x11 == 40;  
eqn4 = 0.04*x4 + 0.04*x5 + 0.2*x6 + 0.2*x7 + 2*x8 + 0.2*x9 + 0.2*x10 + 0.04*x11 + 0.04*x12 == 14;
eqn5 = 0.04*x5 + 0.04*x6 + 0.2*x7 + 0.2*x8 + 2*x9 + 0.2*x10 + 0.2*x11 + 0.04*x12 + 0.04*x13 == 0;
eqn6 = 0.04*x6 + 0.04*x7 + 0.2*x8 + 0.2*x9 + 2*x10 + 0.2*11 + 0.2*x12 + 0.04*x13 + 0.04*x14 == 191;
eqn7 = 0.04*x7 + 0.04*x8 + 0.2*x9 + 0.2*x10 + 2*x11 + 0.2*x12 + 0.2*x13 + 0.04*x14 + 0.04*x15 == 153;
eqn8 = 0.04*x8 + 0.04*x9 + 0.2*x10 + 0.2*x11 + 2*x12 + 0.2*x13 + 0.2*x14 + 0.04*x15 + 0.04*x16 == 362;
eqn9 = 0.04*x9 + 0.04*x10 + 0.2*x11 + 0.2*x12 + 2*x13 + 0.2*x14 + 0.2*x15 + 0.04*x16 + 0.04*x17 == 471;

[A,B] = equationsToMatrix([eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, 5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9], [x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17])

X = linsolve(A,B)

但是，我收到错误消息：

Warning: The system is inconsistent. Solution does not exist. 
In symengine (line 57)
In sym/privBinaryOp (line 903)
In sym/linsolve (line 63)
In solveLinEqn (line 15)
X =

 Inf
 Inf
 .
 .
 .
 Inf

这是否意味着未知数有无限多种解决方案？有没有其他方法来帮助解决这个问题？谢谢！

Answer 1

任何具有比方程更多未知数的系统都会产生一个带有（#unknowns - ＃equation）自由变量的欠定系统。

作为示例，1个等式和2个未知数意味着有1个自由变量

y = 5x - 2

Answer 2

如果您在致电A之前看一下linSolve(A,B)矩阵，您会发现它有一行零：

[    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,    0,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25]

那是什么意思？
在我们深入研究欠定系统之前，让我们回顾一下解决一组线性方程的问题。线性系统Ax = b的精确解决方案要求 A 矩阵为正方形，即相同数量的行和列，并且是可逆的。解决这样一个系统需要x = A^-1 * b这是任何数字软件都可以轻松处理的问题。

鉴于你的系统不确定，即更多未知的方程，它会产生一个矩阵，其中 A 中的列数大于行数，因此我们只能近似这种系统的解决方案。一个未确定的系统有无数的解决方案，所以让 x' 成为系统的解决方案Ax' = b 现在，对于某些向量 x' = A^Tw w。然后我们可以将系统的解决方案表达为

AA^Tw = b => w = (AA^T)^-1b
x' = A^Tw

AA^T被称为Gramm矩阵，因为它可以在上面看到它必须是可逆的，以便系统有一个解决方案。由于您的A矩阵有一行零，因此Gramm矩阵AA^T也会有一行零，因此它是单数（不可逆）：

[ 2604/625,  562/625,  109/125,   32/125, 0,    4/125,   11/625,    2/625,    1/625]
[  562/625, 2604/625,  562/625,  109/125, 0,   27/125,    4/125,   11/625,    2/625]
[  109/125,  562/625, 2604/625,  562/625, 0,   31/125,   27/125,    4/125,   11/625]
[   32/125,  109/125,  562/625, 2604/625, 0,  108/125,   32/125,   27/125,    4/125]
[        0,        0,        0,        0, 0,        0,        0,        0,        0]
[    4/125,   27/125,   31/125,  108/125, 0, 2579/625,  312/625,  104/125,   27/125]
[   11/625,    4/125,   27/125,   32/125, 0,  312/625, 2604/625,  562/625,  109/125]
[    2/625,   11/625,    4/125,   27/125, 0,  104/125,  562/625, 2604/625,  562/625]
[    1/625,    2/625,   11/625,    4/125, 0,   27/125,  109/125,  562/625, 2604/625]

TL; DR; 您的Gramm矩阵不可逆，因此系统没有解决方案（又名作为不一致的系统），这就是您收到不一致的系统错误消息的原因。
参考文献：
http://www.math.usm.edu/lambers/mat419/

求解方程式比方程更多的未知数

2 个答案: