Question

我有一组二次方程式，比如

x² + x + y = 7
x + 3y = -3
y² + x² + z = 11

所有系数都是整数。方程组可能没有解决方案，也不是一整套解决方案的解决方案。

有人知道找出这些方程是否有解的方法吗？

我的第一个想法是逐个求解这些方程，并使用结果来求解其他方程。问题是舍入误差：理论上，如果我有两个方程式

x + y = 5
x = 5 - y

会有很多解决方案。但如果我的方法导致

x + y = 4.999999
x = 5 - y

系统突然没有解决方案。在下一步中，我可以添加epsilons来补偿舍入错误，但我不确定它们应该有多大。任何想法或更好的方法？

PS：背景是在平面中找到一组复杂的圆和线的交点。

Answer 1

由于你有精确的整数输入，你可以使用精确的算法。例如，您可以计算与您的方程对应的多项式Groebner basis，例如

x² + x + y - 7
x + 3y + 3
y² + x² + z - 11

通过术语的词典排序，您将获得一种“三角形”形式的Groebner基础，其中第一个多项式包含尽可能少的变量，例如

81z² - 176z + 92
2y + 9z - 8
2x - 27z + 30

一旦z被修复，这为z和y和x的唯一值提供了两个真正的根。如果计算基数的第一个多项式不包含变量，那么您的方程组没有任何解。如果计算基数中的第一个多项式包含两个变量，那么您将拥有无限数量的解（可能很复杂）。

您可以使用Wolfram Alpha在线试验Groebner基础（例如compute the basis for your example）。可以使用Buchberger algorithm计算Groebner基础，Java中提供了一些实现。

注意：Buchberger算法的最坏情况复杂度在输入的最大总程度上是双指数的，但在您的应用程序中这可能无关紧要。