如何平滑地将球体变换为半球体

Question

我正在使用第三方“旋转器”物体，它沿球体表面提供平滑，随机的旋转。旋转器用于控制摄像机（请参阅xscreensaver源代码中的rotator.h / c。）

旋转器的输出是纬度和经度。 我想要的是让相机保持在“赤道”之上 - 因此仅限于半球。

我宁愿不修改旋转器本身。所以我可以取纬度输出并使用它的绝对值。然而，横跨赤道的平滑旋转运动不会产生平稳的相机运动：它会反弹。

我想我可以将旋转器的输出范围从其当前范围缩放到我的目标范围：例如f（lat）=（lat + 1）/ 2将（0,1）范围映射到（0.5,1）。即将整个“地球仪”映射到北半球。运动仍然很顺利。但是，旋转器的“南极”将成为我相机的“赤道”。这不会导致奇怪的动作吗？也许不连续？我不确定。

还有另一种方法可以将球体（纬度和经度）平滑地映射到半球吗？

更新

感谢您的关注和回应。有几个人要求澄清“顺利”。我的意思是不生涩：旋转器速度的微小变化应映射到相机速度的微小变化。如果我只是取纬度的绝对值，那么当旋转器越过赤道时，旋转器速度的零变化将转换为摄像机速度的突然符号翻转（也就是反弹）。

IIRC这相当于要求速度的一阶导数是连续的。连续的二阶导数可能不错，但我认为这不是必需的。

Answer 1

速度是位置的导数。只需“镜像”lat值，就可以在击中赤道时在位置函数中创建一个“角”。因此，为了获得平滑过渡，您需要将线性位置（即，纬度作为时间的函数）映射到在赤道附近缓慢变化的函数，并且在赤道处一阶导数为0。

tom10 建议映射 lat'（lat）=（lat）^ 2 是这种函数的一个很好的例子。但是，您需要对结果进行标准化，以便获得 lat'（90deg）= 90deg 。因此，正确的映射应该是：

lat'（lat）= 90 *（lat / 90）^ 2

抛物线的替代方案是 sin（）函数，具有适当的移位和规范化。根据您在离开赤道时希望速度接近原始速度的程度，您可以使用更高或更低阶的指数值，例如：

lat'（lat）= 90 *（| lat | / 90）^ K

Answer 2

球体和半球在拓扑上是不同的，因此无法以满足您标准的方式在两者之间平滑地进行映射。

Answer 3

而不是纬度的绝对值，你可以做一些平滑的事情，比如（latitiude） ² 。

Answer 4

我不完全确定我理解你的问题，所以我会重新陈述以防万一：

  

您希望能够转换任何点（由纬度和经度给出）并将其转换为半球上的点，以便“移动平滑”（即球体上的小移动转换为半球）

在这种情况下，我相信你可以简单地“将球体向后折叠”（例如，取自赤道的纬度模数）。