如何确定线段是否与圆相切？

Question

我有一个起源于（cx，cy）的圆圈。 半径是r。 然后，有一个由。定义的线段 两点：（x1，y1）和（x2，y2）。 如何确定线段（不是延长线） 与圆相切？如果是的话，两个人在哪里接触？

我现在在做什么：找出点的距离 （cx，cy）来自扩展线。如果距离！= r，那么 当然，线段不与圆相切。甚至 如果距离== r，那么我们需要找出这一点 他们触摸的地方。然后检查该点是否存在 （x1，y1）和（x2，y2）之间的段。如果是，行 段IS与圆相切 - 以及触点 已经计算好了。这有效，但涉及太多的数学。 并且都有浮点数或双变量。不存在吗？ 更聪明，更快的算法来实现相同的结果？

谢谢和问候， 普拉莫德

Answer 1

我建议你停止使用斜坡进行推理，因为垂直方向的奇点总是很难处理。请尝试使用参数化表单：

p = p1 + t v   where   v = p2 - p1

现在将向量p1 - c投影到v上，取导数wrt t，设置为零，然后快速得到一个表达式t的表达式最接近c的无限线上的点，即切点：

    (c - p1) dot v
t = --------------
       v dot v

如果此值介于0和1之间，则切点位于p1和p2之间。这是一个非常便宜的计算。如果确实如此，您可以跟进半径检查

(c - p1 - tv) dot (c - p1 - tv) ~= r^2  ?

请注意，上面已计算过子c - p1。

您刚才提到圈子正在移动，因此您可以计算v dot v一次并保存。

Answer 2

您可能知道如果f(x,y) = y-m*x-c是线段的属性，则|f(x1,y1)|/sqrt(1+m^2)表示该线距(x1,y1)的距离。因此：

double m = (y2-y1)/(x2-x1);//slope
double c = y1 - m*x1;//since (x1,y1) lies on the line f(x1,y1) is zero
double d = abs(cy - m*cx - c)/sqrt(1+m*m);//distance
if(d==r)//radius
 //Yeah its tangent and do whatever you want
else
 //Nope

第二部分是伪代码;

g1(x,y) = y+(1/m)*x-c1;//perpendicular line through (x1,y1)
g2(x,y) = y+(1/m)*x-c2;//perpendicular line through (x2,y2)
c1 = y1+(1/m)*x1;
c2 = y2+(1/m)*x2;
if(g1(cx,cy)*g2(cx,cy)<0)//condition if point lies between two lines.Here make sure the coeffecients of y and x are of same sign in g1 and g2
//yes
else
//no

Answer 3

根据定义，切线必须垂直于半径线。在下图中，红线是一条切线，当且仅当它垂直于绿线（从中心到接触点）时。

因此，如果您知道切线M的斜率（从(x1,y1)和(x2,y2)计算得出），那么半径线的斜率为-1/M。鉴于你知道

• 圆圈的中心
• 圆的半径
• 绿线的斜率

很容易计算联系点。实际上，在圆圈的两侧有两个可能的接触点。

所以你需要做的就是检查两个可能的接触点中是否有一个在线段上。